Sejam e matrizes quadradas e um escalar qualquer. Defina (colchete de Lie de matrizes). Mostre as seguinte propriedades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três matrizes quadradas e de dimensão e um escalar . A gente define o colchete de Lie, que é dado por . A questão pede para mostrar algumas propriedades desse colchete. Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes se comportam ao multiplicar e como essas operações se relacionam com o colchete de Lie.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que o colchete de Lie é bilinear. Isso significa que ele é linear em cada uma das suas entradas. Ou seja, se tivermos duas matrizes e um escalar , então:
Vamos provar a primeira igualdade:
Assim, mostramos que o colchete é linear na primeira entrada. A segunda igualdade é análoga.

Passo 3

Agora, vamos ver que o colchete de Lie é anti comutativo, ou seja:
Vamos calcular :
Então, confirmamos que:

Passo 4

A próxima propriedade é a identidade de Jacobi, que é um pouco mais complexa. Ela diz que para quaisquer três matrizes :
Vamos verificar isso passo a passo. Primeiro, calculamos cada termo:
Agora, somamos os três termos:
Observamos que todos os termos se cancelam:
Portanto, a identidade de Jacobi é satisfeita.

Resposta

Mostramos que o colchete de Lie é bilinear, anti comutativo e satisfaz a identidade de Jacobi.

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Determine se os pares de retas e abaixo, s ao paralelas ou concorrentes. Encontre uma equa, ao geral do plano que as contb) As retas
s̃ao dadas
c) As retas por: saao dadas por:
:
c.
Se e , calcule e .
Em cada um dos itens abaixo determine os v
  1. .
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
b) e