Sejam
e
matrizes quadradas
e
um escalar qualquer. Defina
(colchete de Lie de matrizes). Mostre as seguinte propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três matrizes quadradas
e
de dimensão
e um escalar
. A gente define o colchete de Lie, que é dado por
. A questão pede para mostrar algumas propriedades desse colchete. Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes se comportam ao multiplicar e como essas operações se relacionam com o colchete de Lie.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que o colchete de Lie é bilinear. Isso significa que ele é linear em cada uma das suas entradas. Ou seja, se tivermos duas matrizes
e um escalar
, então:
Vamos provar a primeira igualdade:
Assim, mostramos que o colchete é linear na primeira entrada. A segunda igualdade é análoga.
Passo 3
Agora, vamos ver que o colchete de Lie é anti comutativo, ou seja:
Vamos calcular
:
Então, confirmamos que:
Passo 4
A próxima propriedade é a identidade de Jacobi, que é um pouco mais complexa. Ela diz que para quaisquer três matrizes
:
Vamos verificar isso passo a passo. Primeiro, calculamos cada termo:
Agora, somamos os três termos:
Observamos que todos os termos se cancelam:
Portanto, a identidade de Jacobi é satisfeita.
Resposta
Mostramos que o colchete de Lie
é bilinear, anti comutativo e satisfaz a identidade de Jacobi.
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Determine se os pares de retas
e
abaixo, s ao paralelas ou concorrentes. Encontre uma equa,
ao geral do plano que as contb) As retas
s̃ao dadas
c) As retas por: saao dadas por:
s̃ao dadas
c) As retas por:
c.
Se
e
, calcule
e
.
Em cada um dos itens abaixo determine os v
-
.
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
b) e
b)