Sejam A, B e C matrizes quadradas n times n e k um escalar qualquer. Defina [A, B]= A B-B A (colchete de Lie de matrizes). Mostre as seguinte propriedades:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três matrizes quadradas e de dimensão e um escalar . A gente define o colchete de Lie, que é dado por . A questão pede para mostrar algumas propriedades desse colchete. Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes se comportam ao multiplicar e como essas operações se relacionam com o colchete de Lie.

Passo 2

Primeiro, vamos mostrar que o colchete de Lie é bilinear. Isso significa que ele é linear em cada uma das suas entradas. Ou seja, se tivermos duas matrizes [A + B, C] = [A, C] + [B, C] e um escalar [A, B + C] = [A, B] + [A, C] , então:
[kA, B] = k[A, B]
[A, kB] = k[A, B]
[A + B, C] = (A + B)C - C(A + B) = AC + BC - CA - CB = (AC - CA) + (BC - CB) = [A, C] + [B, C]
Vamos provar a primeira igualdade:
Assim, mostramos que o colchete é linear na primeira entrada. A segunda igualdade é análoga.

Passo 3

Agora, vamos ver que o colchete de Lie é anti comutativo, ou seja:
[A, B] = -[B, A]
Vamos calcular [B, A] = BA - AB = -(AB - BA) = -[A, B] :
[A, B] = -[B, A]
Então, confirmamos que:

Passo 4

A próxima propriedade é a identidade de Jacobi, que é um pouco mais complexa. Ela diz que para quaisquer três matrizes [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 :
(ABC - ACB - BCA + CBA) + (BCA - BAC - CAB + ACB) + (CAB - CBA - ABC + BAC)
Vamos verificar isso passo a passo. Primeiro, calculamos cada termo:
  1. ABC - ACB - BCA + CBA + BCA - BAC - CAB + ACB + CAB - CBA - ABC + BAC = 0
Agora, somamos os três termos:
Observamos que todos os termos se cancelam:
Portanto, a identidade de Jacobi é satisfeita.

Resposta

Mostramos que o colchete de Lie é bilinear, anti comutativo e satisfaz a identidade de Jacobi.

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