Sejam
e
matrizes quadradas
e
um escalar qualquer. Defina
(colchete de Lie de matrizes). Mostre as seguinte propriedades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta três matrizes quadradas
e
de dimensão
e um escalar
. A gente define o colchete de Lie, que é dado por
. A questão pede para mostrar algumas propriedades desse colchete. Para resolver isso, vamos precisar entender como as matrizes se comportam ao multiplicar e como essas operações se relacionam com o colchete de Lie.
Passo 2
Primeiro, vamos mostrar que o colchete de Lie é bilinear. Isso significa que ele é linear em cada uma das suas entradas. Ou seja, se tivermos duas matrizes
e um escalar
, então:
Vamos provar a primeira igualdade:
Assim, mostramos que o colchete é linear na primeira entrada. A segunda igualdade é análoga.
Passo 3
Agora, vamos ver que o colchete de Lie é anti comutativo, ou seja:
Vamos calcular
:
Então, confirmamos que:
Passo 4
A próxima propriedade é a identidade de Jacobi, que é um pouco mais complexa. Ela diz que para quaisquer três matrizes
:
Vamos verificar isso passo a passo. Primeiro, calculamos cada termo:
Agora, somamos os três termos:
Observamos que todos os termos se cancelam:
Portanto, a identidade de Jacobi é satisfeita.
Resposta
Mostramos que o colchete de Lie
é bilinear, anti comutativo e satisfaz a identidade de Jacobi.