Determine todas as soluções da equação diferencial
que são funções do
grau, ou seja, da forma
, para
e
constantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
A gente quer encontrar todas as soluções dessa equação que são funções de segundo grau, ou seja, da forma
, onde
,
e
são constantes. Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo diferencial e substituir na equação para encontrar os valores de
,
e
que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução é um polinômio de segundo grau:
Agora, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de
em relação a
.
Passo 3
Calculando a primeira derivada
:
E a segunda derivada
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, distribuímos os termos:
Simplificando cada parte:
Passo 6
Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
- Termos em
: - Termos em
: - Termos constantes:
Então, a equação fica:
Passo 7
Para que a equação seja válida para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero. Assim, temos:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 8
Resolvendo as equações:
- De
, já sabemos que é zero. - De
, podemos escrever .
Passo 9
Agora, substituímos
e
na expressão original de
:
Resposta
Todas as soluções da equação diferencial que são funções de segundo grau são da forma:
onde
é uma constante qualquer.
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dada é solução explícita da equação diferencial dada. Admita um intervalo de solução apropriado.
a)
a)
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.
Determine a solução geral das EDOc)