Determine todas as soluções da equação diferencial
que são funções do grau, ou seja, da forma , para e constantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
A gente quer encontrar todas as soluções dessa equação que são funções de segundo grau, ou seja, da forma , onde , e são constantes. Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo diferencial e substituir na equação para encontrar os valores de , e que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução é um polinômio de segundo grau:
Agora, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de em relação a .

Passo 3

Calculando a primeira derivada :
E a segunda derivada :

Passo 4

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, distribuímos os termos:
Simplificando cada parte:

Passo 6

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos em :
  • Termos em :
  • Termos constantes:
Então, a equação fica:

Passo 7

Para que a equação seja válida para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero. Assim, temos:
  1. Coeficiente de :
  2. Termo constante:

Passo 8

Resolvendo as equações:
  1. De , já sabemos que é zero.
  2. De , podemos escrever .

Passo 9

Agora, substituímos e na expressão original de :

Resposta

Todas as soluções da equação diferencial que são funções de segundo grau são da forma:
onde é uma constante qualquer.

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