Determine todas as soluções da equação diferencial
t y'' + (t-1) y' - y = 0
que são funções do grau, ou seja, da forma y(t) = a t^2 + b t + c, para a, b e c constantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
A gente quer encontrar todas as soluções dessa equação que são funções de segundo grau, ou seja, da forma , onde a, b e c são constantes. Para isso, vamos usar conceitos básicos de cálculo diferencial e substituir na equação para encontrar os valores de a, b e c que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução é um polinômio de segundo grau:
Agora, precisamos encontrar as primeiras e segundas derivadas de y(t) em relação a t.

Passo 3

Calculando a primeira derivada :
E a segunda derivada :

Passo 4

Agora, vamos substituir y, e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Primeiro, distribuímos os termos:
Simplificando cada parte:

Passo 6

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
  • Termos em t^2:
  • Termos em t:
  • Termos constantes:
Então, a equação fica:

Passo 7

Para que a equação seja válida para todo t, os coeficientes de cada potência de t devem ser iguais a zero. Assim, temos:
  1. Coeficiente de t^2:
  2. Termo constante:

Passo 8

Resolvendo as equações:
  1. De , já sabemos que a é zero.
  2. De , podemos escrever .

Passo 9

Agora, substituímos e na expressão original de y(t):

Resposta

Todas as soluções da equação diferencial que são funções de segundo grau são da forma:
onde b é uma constante qualquer.

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