Use a equação de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada .

Passo 1

Beleza, então a gente vai resolver um exercício de análise complexa usando as Equações de Cauchy-Riemann. O objetivo é verificar se a função é analítica e descobrir em qual domínio isso acontece. Se for analítica, também vamos calcular a derivada .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função em termos das partes real e imaginária. Para isso, consideramos , onde e são números reais, e é a unidade imaginária.
Elevando ao cubo:
Vamos expandir esse termo usando o binômio de Newton:
Agora, separamos as partes real e imaginária:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a e :

Passo 4

Agora, aplicamos as Equações de Cauchy-Riemann, que dizem que para a função ser analítica, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
Substituindo as derivadas que calculamos:
  1. → Verdadeiro
  2. → Verdadeiro
Como as duas equações são verdadeiras para qualquer e , a função satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann em todo o plano complexo.

Passo 5

Como a função é analítica em todo o domínio complexo, podemos calcular sua derivada usando a regra padrão para funções polinomiais complexas:

Resposta

A função é analítica em todo o plano complexo, e sua derivada é .

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Encontre as funções (a) , (b) , © e (d) e seus domínios.
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Expresse a função na forma .
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge.