Use a equação de Cauchy-Riemann para verificar, no caso de cada uma das funções dadas, qual é analítica e em que domínio. Em caso positivo, calcule a derivada
.
Passo 1
Beleza, então a gente vai resolver um exercício de análise complexa usando as Equações de Cauchy-Riemann. O objetivo é verificar se a função
é analítica e descobrir em qual domínio isso acontece. Se for analítica, também vamos calcular a derivada
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos das partes real e imaginária. Para isso, consideramos
, onde
e
são números reais, e
é a unidade imaginária.
Elevando
ao cubo:
Vamos expandir esse termo usando o binômio de Newton:
Agora, separamos as partes real e imaginária:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, aplicamos as Equações de Cauchy-Riemann, que dizem que para a função ser analítica, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
Substituindo as derivadas que calculamos:
-
→ Verdadeiro -
→ Verdadeiro
Como as duas equações são verdadeiras para qualquer
e
, a função
satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann em todo o plano complexo.
Passo 5
Como a função
é analítica em todo o domínio complexo, podemos calcular sua derivada usando a regra padrão para funções polinomiais complexas:
Resposta
A função
é analítica em todo o plano complexo, e sua derivada é
.
Exercícios relacionados
Encontre as funções (a)
, (b)
, ©
e (d)
e seus domínios.
Determine a parte real e imaginária de cada uma das funções dadas.
Expresse a função na forma
.
Verifique se as seguintes séries convergem absolutamente, condicionalmente ou diverge.