Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
ln (x+y z)=1+x y^2 z^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente de derivadas parciais. A ideia é encontrar as derivadas de em relação a e , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é útil quando temos definido de forma indireta por uma equação envolvendo e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a visualização:
ln(x + y z) = 1 + x y^2 z^3
Nosso objetivo é diferenciar essa equação em relação a e a , tratando como uma função de e .

Passo 3

Vamos começar encontrando ddx ln(x + y z) = ddx (1 + x y^2 z^3) . Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a 1x + y z (1 + y partial zpartial x) = y^2 z^3 + x y^2 cdot 3 z^2 partial zpartial x :
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 4

Agora, vamos isolar 1x + y z cdot 1 + 1x + y z cdot y partial zpartial x = y^2 z^3 + 3 x y^2 z^2 partial zpartial x :
yx + y z partial zpartial x - 3 x y^2 z^2 partial zpartial x = y^2 z^3 - 1x + y z
Levando todos os termos com (yx + y z - 3 x y^2 z^2) partial zpartial x = y^2 z^3 - 1x + y z para um lado:
partial zpartial x = y^2 z^3 - 1x + y zyx + y z - 3 x y^2 z^2
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 5

Agora, vamos encontrar ddy ln(x + y z) = ddy (1 + x y^2 z^3) . Diferenciamos novamente a equação original, mas agora em relação a 1x + y z (z + y partial zpartial y) = 2 x y z^3 + x y^2 cdot 3 z^2 partial zpartial y :
zx + y z + yx + y z partial zpartial y = 2 x y z^3 + 3 x y^2 z^2 partial zpartial y
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
(yx + y z - 3 x y^2 z^2) partial zpartial y = 2 x y z^3 - zx + y z
Isolando partial zpartial y = 2 x y z^3 - zx + y zyx + y z - 3 x y^2 z^2 :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = y^2 z^3 - 1x + y zyx + y z - 3 x y^2 z^2
e
partial zpartial y = 2 x y z^3 - zx + y zyx + y z - 3 x y^2 z^2

Exercícios relacionados