Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente de derivadas parciais. A ideia é encontrar as derivadas de em relação a e , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é útil quando temos definido de forma indireta por uma equação envolvendo e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é diferenciar essa equação em relação a e a , tratando como uma função de e .

Passo 3

Vamos começar encontrando . Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a :
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Levando todos os termos com para um lado:
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Diferenciamos novamente a equação original, mas agora em relação a :
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Isolando :
Fatorando :
Finalmente, isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Determine e .
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Seja . Use o Teorema da Sequência Monótona para provar que existe.
O raio de um cilindro reto está aumentando em uma taxa de enquanto a sua altura está decrescendo em uma taxa de . Em qual taxa o volume do cilindro está variando quando o raio é 80 cm e a altura é 150 cm ?