Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Cálculo, mais especificamente de derivadas parciais. A ideia é encontrar as derivadas de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é útil quando temos
definido de forma indireta por uma equação envolvendo
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a visualização:
Nosso objetivo é diferenciar essa equação em relação a
e a
, tratando
como uma função de
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Levando todos os termos com
para um lado:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Diferenciamos novamente a equação original, mas agora em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia no lado esquerdo:
Isolando
:
Fatorando
:
Finalmente, isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Determine
e
.
Determine
e
.
Seja
. Use o Teorema da Sequência Monótona para provar que
existe.
O raio de um cilindro reto está aumentando em uma taxa de
enquanto a sua altura está decrescendo em uma taxa de
. Em qual taxa o volume do cilindro está variando quando o raio é 80 cm e a altura é 150 cm ?