Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
x y^2 z^3+x^3 y^2 z=x+y+z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e na equação . Isso envolve cálculo de derivadas parciais e diferenciação implícita, que é quando depende de e de forma que não está resolvida explicitamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Quando temos uma função com mais de uma variável, como , a derivada parcial nos mostra como muda quando só o varia, mantendo constante, e vice-versa para .

Passo 3

Agora, vamos usar a diferenciação implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e depois em relação a , tratando como uma função de e . Lembre-se que, ao derivar , precisamos multiplicar pela derivada que estamos encontrando (regra da cadeia).

Passo 4

Vamos começar derivando a equação em relação a partialpartial x ( x y^2 z^3 + x^3 y^2 z ) = partialpartial x (x) + partialpartial x (y) + partialpartial x (z) :
y^2 z^3 + x y^2 cdot 3 z^2 partial zpartial x + 3x^2 y^2 z + x^3 y^2 partial zpartial x = 1 + 0 + partial zpartial x
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, organizamos os termos que contêm x y^2 cdot 3 z^2 partial zpartial x + x^3 y^2 partial zpartial x - partial zpartial x = 1 - y^2 z^3 - 3x^2 y^2 z de um lado e os demais do outro:
partial zpartial x ( 3x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1 ) = 1 - y^2 z^3 - 3x^2 y^2 z
Fatorando :

Passo 6

Finalmente, isolamos partial zpartial x = 1 - y^2 z^3 - 3x^2 y^2 z3x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1 :

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para partialpartial y ( x y^2 z^3 + x^3 y^2 z ) = partialpartial y (x) + partialpartial y (y) + partialpartial y (z) . Diferenciando a equação original em relação a 2x y z^3 + x y^2 cdot 3 z^2 partial zpartial y + 2x^3 y z + x^3 y^2 partial zpartial y = 0 + 1 + partial zpartial y :
Isso resulta em:

Passo 8

Organizando os termos:
x y^2 cdot 3 z^2 partial zpartial y + x^3 y^2 partial zpartial y - partial zpartial y = 1 - 2x y z^3 - 2x^3 y z
Fatorando partial zpartial y ( 3x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1 ) = 1 - 2x y z^3 - 2x^3 y z :

Passo 9

Isolando partial zpartial y = 1 - 2x y z^3 - 2x^3 y z3x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1 :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 1 - y^2 z^3 - 3x^2 y^2 z3x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1
e
partial zpartial y = 1 - 2x y z^3 - 2x^3 y z3x y^2 z^2 + x^3 y^2 - 1

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