Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e na equação . Isso envolve cálculo de derivadas parciais e diferenciação implícita, que é quando depende de e de forma que não está resolvida explicitamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Quando temos uma função com mais de uma variável, como , a derivada parcial nos mostra como muda quando só o varia, mantendo constante, e vice-versa para .

Passo 3

Agora, vamos usar a diferenciação implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e depois em relação a , tratando como uma função de e . Lembre-se que, ao derivar , precisamos multiplicar pela derivada que estamos encontrando (regra da cadeia).

Passo 4

Vamos começar derivando a equação em relação a :
Isso nos dá:

Passo 5

Agora, organizamos os termos que contêm de um lado e os demais do outro:
Fatorando :

Passo 6

Finalmente, isolamos :

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para . Diferenciando a equação original em relação a :
Isso resulta em:

Passo 8

Organizando os termos:
Fatorando :

Passo 9

Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Seja . Use os itens © e (d) para mostrar que para todo .
Determine e .
Determine e .
Determine e .