Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
na equação
. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e diferenciação implícita, que é quando
depende de
e
de forma que não está resolvida explicitamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são derivadas parciais. Quando temos uma função com mais de uma variável, como
, a derivada parcial
nos mostra como
muda quando só o
varia, mantendo
constante, e vice-versa para
.
Passo 3
Agora, vamos usar a diferenciação implícita. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
e depois em relação a
, tratando
como uma função de
e
. Lembre-se que, ao derivar
, precisamos multiplicar pela derivada que estamos encontrando (regra da cadeia).
Passo 4
Vamos começar derivando a equação em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 5
Agora, organizamos os termos que contêm
de um lado e os demais do outro:
Fatorando
:
Passo 6
Finalmente, isolamos
:
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para
. Diferenciando a equação original em relação a
:
Isso resulta em:
Passo 8
Organizando os termos:
Fatorando
:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Seja
. Use os itens © e (d) para mostrar que
para todo
.
Determine
e
.
Determine
e
.
Determine
e
.