Determine
e
.
Passo 1
Então, a gente tem a seguinte equação:
. A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que é útil quando
está definida de forma implícita por uma equação envolvendo
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Para isso, vamos derivar toda a equação em relação a
, tratando
como uma constante e lembrando que
é uma função de
. Vamos passo a passo:
Diferenciando
em relação a
dá
.
Diferenciando
em relação a
dá
.
Diferenciando
em relação a
dá
.
E a derivada de 3 em relação a
é 0.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Vamos agrupar os termos que contêm
:
Então, dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Da mesma forma, vamos diferenciar toda a equação em relação a
, tratando
como uma constante:
Diferenciando
em relação a
dá
.
Diferenciando
em relação a
dá
.
Diferenciando
em relação a
dá
.
E a derivada de 3 em relação a
é 0.
Então, temos:
Passo 5
Vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados por
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Determine
e
.
Seja
. Use os itens © e (d) para mostrar que
para todo
.
Determine
e
.
Seja
. Use o Teorema da Sequência Monótona para provar que
existe.