Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
x y^2+y z^2+z x^2=3

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte equação: . A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que é útil quando está definida de forma implícita por uma equação envolvendo , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar y^2 + 2 y z partial zpartial x + 2 z x + x^2 partial zpartial x = 0 . Para isso, vamos derivar toda a equação em relação a , tratando como uma constante e lembrando que é uma função de . Vamos passo a passo:
Diferenciando em relação a .
Diferenciando em relação a .
Diferenciando em relação a .
E a derivada de 3 em relação a é 0.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos isolar (2 y z + x^2) partial zpartial x = - (y^2 + 2 z x) . Vamos agrupar os termos que contêm partial zpartial x = - y^2 + 2 z x2 y z + x^2 :
Então, dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos encontrar 2 x y + z^2 + 2 y z partial zpartial y + x^2 partial zpartial y = 0 . Da mesma forma, vamos diferenciar toda a equação em relação a , tratando como uma constante:
Diferenciando em relação a .
Diferenciando em relação a .
Diferenciando em relação a .
E a derivada de 3 em relação a é 0.
Então, temos:

Passo 5

Vamos isolar (2 y z + x^2) partial zpartial y = - (2 x y + z^2) :
partial zpartial y = - 2 x y + z^22 y z + x^2
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = - y^2 + 2 z x2 y z + x^2
partial zpartial y = - 2 x y + z^22 y z + x^2

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