Determine e .

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte equação: . A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que é útil quando está definida de forma implícita por uma equação envolvendo , e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Para isso, vamos derivar toda a equação em relação a , tratando como uma constante e lembrando que é uma função de . Vamos passo a passo:
Diferenciando em relação a .
Diferenciando em relação a .
Diferenciando em relação a .
E a derivada de 3 em relação a é 0.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos isolar . Vamos agrupar os termos que contêm :
Então, dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Da mesma forma, vamos diferenciar toda a equação em relação a , tratando como uma constante:
Diferenciando em relação a .
Diferenciando em relação a .
Diferenciando em relação a .
E a derivada de 3 em relação a é 0.
Então, temos:

Passo 5

Vamos isolar :
Dividindo ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais são:

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Determine e .
Seja . Use os itens © e (d) para mostrar que para todo .
Determine e .
Seja . Use o Teorema da Sequência Monótona para provar que existe.