Seja
. Use o Teorema da Sequência Monótona para provar que
existe.
Passo 1
Vamos resolver o problema de provar que o limite de
quando
tende ao infinito existe. Para isso, vamos usar o Teorema da Sequência Monótona. Vamos precisar entender conceitos de sequência monótona, limites e como mostrar que uma sequência é crescente e está limitada.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a sequência
é crescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja,
para todo
.
Passo 3
Vamos comparar
com
:
Podemos demonstrar que
usando desigualdades e propriedades de exponenciação, o que mostra que a sequência é crescente.
Passo 4
Agora, vamos mostrar que a sequência
está limitada acima. Sabemos que:
onde
é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828. Isso significa que todos os termos da sequência são menores que
, ou seja, a sequência está limitada acima.
Passo 5
Segundo o Teorema da Sequência Monótona, se uma sequência é monótona (crescente ou decrescente) e está limitada, então ela converge, ou seja, tem um limite.
Resposta
Portanto, usando o Teorema da Sequência Monótona, concluímos que
existe.
Exercícios relacionados
Determine
e
.
Determine
e
.
O raio de um cilindro reto está aumentando em uma taxa de
enquanto a sua altura está decrescendo em uma taxa de
. Em qual taxa o volume do cilindro está variando quando o raio é 80 cm e a altura é 150 cm ?
Seja
. Deduza que
.