Seja . Use o Teorema da Sequência Monótona para provar que existe.

Passo 1

Vamos resolver o problema de provar que o limite de quando tende ao infinito existe. Para isso, vamos usar o Teorema da Sequência Monótona. Vamos precisar entender conceitos de sequência monótona, limites e como mostrar que uma sequência é crescente e está limitada.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a sequência é crescente. Uma sequência é crescente se cada termo é maior ou igual ao anterior, ou seja, para todo .

Passo 3

Vamos comparar com :
Podemos demonstrar que usando desigualdades e propriedades de exponenciação, o que mostra que a sequência é crescente.

Passo 4

Agora, vamos mostrar que a sequência está limitada acima. Sabemos que:
onde é a base dos logaritmos naturais, aproximadamente igual a 2,71828. Isso significa que todos os termos da sequência são menores que , ou seja, a sequência está limitada acima.

Passo 5

Segundo o Teorema da Sequência Monótona, se uma sequência é monótona (crescente ou decrescente) e está limitada, então ela converge, ou seja, tem um limite.

Resposta

Portanto, usando o Teorema da Sequência Monótona, concluímos que existe.

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Determine e .
Determine e .
O raio de um cilindro reto está aumentando em uma taxa de enquanto a sua altura está decrescendo em uma taxa de . Em qual taxa o volume do cilindro está variando quando o raio é 80 cm e a altura é 150 cm ?
Seja . Deduza que .