O raio de um cilindro reto está aumentando em uma taxa de enquanto a sua altura está decrescendo em uma taxa de . Em qual taxa o volume do cilindro está variando quando o raio é 80 cm e a altura é 150 cm ?

Passo 1

Estamos lidando com um exercício de Cálculo, especificamente com taxas relacionadas a volumes de um cilindro. Vamos precisar usar a fórmula do volume do cilindro e entender como derivadas funcionam para relacionar as taxas de variação do raio e da altura com a taxa de variação do volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o volume de um cilindro:
onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base,
  • é a altura do cilindro.

Passo 3

Queremos encontrar a taxa de variação do volume ( ) em relação ao tempo quando o raio ( ) é 80 cm e a altura ( ) é 150 cm. Sabemos que:
(O sinal negativo em indica que a altura está diminuindo.)

Passo 4

Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo ( ) usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Explicando:
  • Derivamos com relação a , que dá .
  • Multiplicamos isso por e adicionamos .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:

Passo 6

Calculando cada parte:

Passo 7

Substituindo os valores calculados:

Passo 8

Finalmente, calculamos :

Resposta

A taxa de variação do volume do cilindro é de .

Exercícios relacionados

Seja . Use o Teorema da Sequência Monótona para provar que existe.
Determine e .
Seja . Deduza que .
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.