O raio de um cilindro reto está aumentando em uma taxa de
enquanto a sua altura está decrescendo em uma taxa de
. Em qual taxa o volume do cilindro está variando quando o raio é 80 cm e a altura é 150 cm ?
Passo 1
Estamos lidando com um exercício de Cálculo, especificamente com taxas relacionadas a volumes de um cilindro. Vamos precisar usar a fórmula do volume do cilindro e entender como derivadas funcionam para relacionar as taxas de variação do raio e da altura com a taxa de variação do volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o volume de um cilindro:
onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura do cilindro.
Passo 3
Queremos encontrar a taxa de variação do volume (
) em relação ao tempo quando o raio (
) é 80 cm e a altura (
) é 150 cm. Sabemos que:
(O sinal negativo em
indica que a altura está diminuindo.)
Passo 4
Vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo (
) usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Explicando:
- Derivamos
com relação a , que dá . - Multiplicamos isso por
e adicionamos .
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Passo 6
Calculando cada parte:
Passo 7
Substituindo os valores calculados:
Passo 8
Finalmente, calculamos
:
Resposta
A taxa de variação do volume do cilindro é de
.
Exercícios relacionados
Seja
. Use o Teorema da Sequência Monótona para provar que
existe.
Determine
e
.
Seja
. Deduza que
.
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.