Determine
e
sendo que
Passo 1
Vamos entender o que foi pedido: precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. A função
é definida de forma diferente no ponto
e em todos os outros pontos. Isso envolve o tema de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, e vamos usar limites para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável (digamos,
) mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo a outra constante. A fórmula para a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é:
E similarmente para
:
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
:
Sabemos que
. Então precisamos encontrar
:
Substituindo na fórmula da derivada:
Esse limite tende ao infinito, o que significa que a derivada parcial de
em relação a
no ponto
não existe.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
:
Calculando
:
Substituindo na fórmula da derivada:
Resposta
Exercícios relacionados
Questão 3. (2.5 pontos) Calcule a integral
, usando a Regra da Substituição. Justifique.
Questão 4. (2.5 pontos) Calcule o volume
do sólido que se encontra abaixo do paraboloide hiperbólico
e acima do retângulo
, usando integral. Justifique.
Suponha que a função
admita derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação
. Expresse
e
em termos de
.
Seja
uma função de uma variável real, diferenciável e tal que
. Seja
. Calcule
e
. Verifique que
para todo