Determine partial fpartial x e partial fpartial y sendo que
f(x, y)=cc x+y^4x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Vamos entender o que foi pedido: precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . A função é definida de forma diferente no ponto e em todos os outros pontos. Isso envolve o tema de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, e vamos usar limites para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são derivadas parciais. A derivada parcial de uma função em relação a uma variável (digamos, partial fpartial x(a, b) = limh to 0 f(a + h, b) - f(a, b)h ) mede como a função muda quando apenas essa variável muda, mantendo a outra constante. A fórmula para a derivada parcial de partial fpartial y(a, b) = limk to 0 f(a, b + k) - f(a, b)k em relação a no ponto é:
E similarmente para :

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em relação a f(h, 0) = h + 0^4h^2 + 0^2 = hh^2 = 1h no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 1h - 0h = limh to 0 1h^2 :
Sabemos que . Então precisamos encontrar :
Substituindo na fórmula da derivada:
Esse limite tende ao infinito, o que significa que a derivada parcial de em relação a no ponto não existe.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k em relação a f(0, k) = 0 + k^40^2 + k^2 = k^4k^2 = k^2 no ponto partial fpartial y(0,0) = limk to 0 k^2 - 0k = limk to 0 k = 0 :
Calculando :
Substituindo na fórmula da derivada:

Resposta

partial fpartial x(0,0) não existe e partial fpartial y(0,0) = 0 ã

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