Seja phi: R R uma função de uma variável real, diferenciável e tal que phi^prime(1)=4. Seja g(x, y)=phi(xy). Calcule partial gpartial x(1,1) e partial gpartial y(1,1). Verifique que
x partial gpartial x(x, y)+y partial gpartial y(x, y)=0
para todo (x, y) in R^2, com y neq 0

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá uma função , que é diferenciável e sabe que . A função é definida como . Precisamos calcular as derivadas parciais e . Além disso, temos que verificar que para todo com .
Vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial gpartial x = phi'(xy) cdot 1y . Como , vamos tratar como uma função interna. A derivada parcial de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos em relação ao seu argumento e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Agora, vamos calcular partial gpartial y = phi'(xy) cdot (-xy^2) . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos em relação ao e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Agora, vamos avaliar as derivadas parciais em partial gpartial x(1,1) = phi'(11) cdot 11 = 4 cdot 1 = 4 . Sabemos que partial gpartial y(1,1) = phi'(11) cdot (-11^2) = 4 cdot (-1) = -4 , e , então:
E para a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, vamos verificar a equação dada:
x partial gpartial x(x, y) + y partial gpartial y(x, y) = 0
Substituindo as expressões das derivadas parciais que encontramos:
x [ phi'(xy) cdot 1y ] + y [ phi'(xy) cdot (-xy^2) ]
Simplificando:
xy phi'(xy) - xy phi'(xy) = 0
Portanto, a equação é verdadeira para todo com .

Resposta

partial gpartial x(1,1) = 4 e partial gpartial y(1,1) = -4

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