Seja uma função de uma variável real, diferenciável e tal que . Seja . Calcule e . Verifique que
para todo

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos dá uma função , que é diferenciável e sabe que . A função é definida como . Precisamos calcular as derivadas parciais e . Além disso, temos que verificar que para todo com .
Vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Como , vamos tratar como uma função interna. A derivada parcial de em relação a é:
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos em relação ao seu argumento e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .

Passo 3

Agora, vamos calcular . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos em relação ao e depois multiplicamos pela derivada de em relação a , que é .

Passo 4

Agora, vamos avaliar as derivadas parciais em . Sabemos que , e , então:
E para a derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, vamos verificar a equação dada:
Substituindo as expressões das derivadas parciais que encontramos:
Simplificando:
Portanto, a equação é verdadeira para todo com .

Resposta

Exercícios relacionados

Suponha que a função admita derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação . Expresse e em termos de .
Determine e sendo que
Dizemos que é um ponto crítico ou estacionário de se e . Determine caso existam os pontos críticos da função dada: .
Dizemos que é um ponto crítico ou estacionário de se e . Determine caso existam os pontos críticos da função dada: .