Seja
uma função de uma variável real, diferenciável e tal que
. Seja
. Calcule
e
. Verifique que
para todo
Passo 1
Vamos lá! O enunciado nos dá uma função
, que é diferenciável e sabe que
. A função
é definida como
. Precisamos calcular as derivadas parciais
e
. Além disso, temos que verificar que
para todo
com
.
Vamos usar o conceito de derivadas parciais e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Como
, vamos tratar
como uma função interna. A derivada parcial de
em relação a
é:
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos
em relação ao seu argumento
e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos
em relação ao
e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
, que é
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar as derivadas parciais em
. Sabemos que
, e
, então:
E para a derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos verificar a equação dada:
Substituindo as expressões das derivadas parciais que encontramos:
Simplificando:
Portanto, a equação é verdadeira para todo
com
.
Resposta
Exercícios relacionados
Suponha que a função
admita derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação
. Expresse
e
em termos de
.
Determine
e
sendo que
Dizemos que
é um ponto crítico ou estacionário de
se
e
. Determine caso existam os pontos críticos da função dada:
.
Dizemos que
é um ponto crítico ou estacionário de
se
e
. Determine caso existam os pontos críticos da função dada:
.