Suponha que a função z=z(x, y) admita derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação x y z+z^3=x. Expresse partial zpartial x e partial zpartial y em termos de x, y, z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que temos uma função que tem derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio. Ela é definida de forma implícita pela equação . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que nos permite encontrar essas derivadas mesmo quando a função não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação ddx(x y z) + ddx(z^3) = ddx(x) em relação a , lembrando que é uma função de e . Usamos a regra da cadeia quando diferenciamos termos que envolvem .

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo separadamente:
  1. Para y z + x y partial zpartial x , usamos a regra do produto:
3 z^2 partial zpartial x
  1. Para 1 , usamos a regra da cadeia:
  1. E a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, juntando tudo:
y z + x y partial zpartial x + 3 z^2 partial zpartial x = 1
Vamos agrupar os termos que contêm (x y + 3 z^2) partial zpartial x = 1 - y z :

Passo 5

Isolando partial zpartial x = 1 - y zx y + 3 z^2 :

Passo 6

Agora, vamos repetir o processo para encontrar ddy(x y z) + ddy(z^3) = ddy(x) . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 7

Diferenciando cada termo:
  1. Para x z + x y partial zpartial y :
3 z^2 partial zpartial y
  1. Para 0 :
  1. A derivada de em relação a é:

Passo 8

Juntando tudo:
x z + x y partial zpartial y + 3 z^2 partial zpartial y = 0
Agrupando os termos com (x y + 3 z^2) partial zpartial y = -x z :

Passo 9

Isolando partial zpartial y = -x zx y + 3 z^2 :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = 1 - y zx y + 3 z^2
e
partial zpartial y = -x zx y + 3 z^2

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