Suponha que a função
admita derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação
. Expresse
e
em termos de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que temos uma função
que tem derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio. Ela é definida de forma implícita pela equação
. Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que nos permite encontrar essas derivadas mesmo quando a função não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação
em relação a
, lembrando que
é uma função de
e
. Usamos a regra da cadeia quando diferenciamos termos que envolvem
.
Passo 3
Vamos diferenciar cada termo separadamente:
- Para
, usamos a regra do produto:
- Para
, usamos a regra da cadeia:
- E a derivada de
em relação a é:
Passo 4
Agora, juntando tudo:
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Passo 5
Isolando
:
Passo 6
Agora, vamos repetir o processo para encontrar
. Diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
:
Passo 7
Diferenciando cada termo:
- Para
:
- Para
:
- A derivada de
em relação a é:
Passo 8
Juntando tudo:
Agrupando os termos com
:
Passo 9
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e