Suponha que a função admita derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio e que seja dada implicitamente pela equação . Expresse e em termos de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que temos uma função que tem derivadas parciais em todos os pontos do seu domínio. Ela é definida de forma implícita pela equação . Nosso objetivo aqui é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para resolver isso, vamos usar a diferenciação implícita, que nos permite encontrar essas derivadas mesmo quando a função não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de e . Usamos a regra da cadeia quando diferenciamos termos que envolvem .

Passo 3

Vamos diferenciar cada termo separadamente:
  1. Para , usamos a regra do produto:
  1. Para , usamos a regra da cadeia:
  1. E a derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, juntando tudo:
Vamos agrupar os termos que contêm :

Passo 5

Isolando :

Passo 6

Agora, vamos repetir o processo para encontrar . Diferenciando ambos os lados da equação em relação a :

Passo 7

Diferenciando cada termo:
  1. Para :
  1. Para :
  1. A derivada de em relação a é:

Passo 8

Juntando tudo:
Agrupando os termos com :

Passo 9

Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Determine e sendo que
Questão 3. (2.5 pontos) Calcule a integral , usando a Regra da Substituição. Justifique.
Seja uma função de uma variável real, diferenciável e tal que . Seja . Calcule e . Verifique que
para todo
Dizemos que é um ponto crítico ou estacionário de se e . Determine caso existam os pontos críticos da função dada: .