Use a Transformada de Laplace para resolver o seguinte Problema de Valor Inicial:
y'' - 2y' + 2y = 0 ; y(0) = 1, y'(0) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A equação é com as condições iniciais e . Vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas derivadas e resolver para encontrar a solução da função .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que:
Aplicando isso à nossa equação:

Passo 3

Agora, substituímos as condições iniciais e na equação:
Simplificando:

Passo 4

Vamos agrupar os termos que envolvem e os constantes:
Agora, isolamos :

Passo 5

Para encontrar , precisamos calcular a Transformada Inversa de Laplace de . Vamos completar o quadrado no denominador:
Então, a fração fica:
Usando a tabela de transformadas, sabemos que:
E:
Aplicando isso:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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