Encontre a série de Fourrier da função dada.
(a)
.
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função
, definida no intervalo
e que se repete a cada
, ou seja,
. Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função
para ver se ela é ímpar ou par. Uma função é ímpar se
e par se
. No nosso caso:
Então,
é uma função ímpar. Isso é importante porque, para funções ímpares, na série de Fourier, só teremos os termos de seno.
Passo 3
Como a função é ímpar, a série de Fourier dela será composta apenas por termos de senos. A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo
é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
Passo 4
Vamos calcular os coeficientes
. Substituindo
na integral:
Podemos simplificar isso para:
Essa integral pode ser resolvida por partes. Vamos deixar o cálculo detalhado de lado e usar a fórmula padrão, que resulta em:
Passo 5
Agora que temos os coeficientes
, podemos escrever a série de Fourier completa da função
:
Resposta
A série de Fourier da função
no intervalo
é:
Exercícios relacionados
Determine
em a) e b) e
e
em c) e d) utilizando a regra da cadeia:
Determine
em a) e b) e
e
em c) e d) utilizando a regra da cadeia:
Determine a equação do plano tangente à superfície no ponto
Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(b) .
(b)