Encontre a série de Fourrier da função dada.
(a) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Fourier da função , definida no intervalo e que se repete a cada , ou seja, . Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função para ver se ela é ímpar ou par. Uma função é ímpar se e par se . No nosso caso:
Então, é uma função ímpar. Isso é importante porque, para funções ímpares, na série de Fourier, só teremos os termos de seno.

Passo 3

Como a função é ímpar, a série de Fourier dela será composta apenas por termos de senos. A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:

Passo 4

Vamos calcular os coeficientes . Substituindo na integral:
Podemos simplificar isso para:
Essa integral pode ser resolvida por partes. Vamos deixar o cálculo detalhado de lado e usar a fórmula padrão, que resulta em:

Passo 5

Agora que temos os coeficientes , podemos escrever a série de Fourier completa da função :

Resposta

A série de Fourier da função no intervalo é:

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Em cada um dos problemas a seguir, diga se as funções dadas são pares ou ímpares.
(b) .