Determine
e
para as seguintes funções de duas variáveis:
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, a gente vai precisar saber como calcular derivadas parciais, ou seja, derivar a função em relação a uma das variáveis mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Isso significa que vamos derivar a função em relação a
, tratando
como uma constante.
A função é um produto de
e . Como
é constante, fica como um coeficiente. Então, vamos derivar
em relação a
.
Usamos a regra do produto:
Multiplicando pela constante :
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Dessa vez, derivamos a função em relação a
, tratando
como constante.
Aqui,
é uma constante em relação a
, então a derivada de em relação a
é
. Assim:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Seja
o triângulo da figura a seguir e
a fronteira de
orientada no sentido anti-horário. Sejam
e
de classe
num aberto contendo
. Prove que
(Sugestão: Prove que
e
.)
Seja
, onde
Verifique a validade do Teorema de Green para a região
e sua fornteira
. (Sugestão: o campo
é especial… ele aparece numa fórmula de área. Use esta informação e a versão do T.G. para regiões com buracos).
Sejam
. Determine
de dois modos:
(b) Determinando a função composta e derivando em relação a
.
(b) Determinando a função composta
Seja
uma função de uma variável e seja
, em que
. Mostre que