Determine e para as seguintes funções de duas variáveis:
(a)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais de uma função de duas variáveis. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial. Para resolver, a gente vai precisar saber como calcular derivadas parciais, ou seja, derivar a função em relação a uma das variáveis mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar . Isso significa que vamos derivar a função em relação a , tratando como uma constante.
A função é um produto de e . Como é constante, fica como um coeficiente. Então, vamos derivar em relação a .
Usamos a regra do produto:
Multiplicando pela constante :

Passo 3

Agora, vamos calcular . Dessa vez, derivamos a função em relação a , tratando como constante.
Aqui, é uma constante em relação a , então a derivada de em relação a é . Assim:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Seja o triângulo da figura a seguir e a fronteira de orientada no sentido anti-horário. Sejam e de classe num aberto contendo . Prove que
(Sugestão: Prove que e .)
Seja , onde
Verifique a validade do Teorema de Green para a região e sua fornteira . (Sugestão: o campo é especial… ele aparece numa fórmula de área. Use esta informação e a versão do T.G. para regiões com buracos).
Sejam . Determine de dois modos:
(b) Determinando a função composta e derivando em relação a .
Seja uma função de uma variável e seja , em que . Mostre que