Sejam z=y e^x+x e^y, y=sen(t), x=cos (t). Determine partial zpartial t de dois modos:
(b) Determinando a função composta z(t) e derivando em relação a t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função , onde e . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos determinar a função composta substituindo e por suas expressões em termos de e, em seguida, derivar essa função em relação a . Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir z(t) = y e^x + x e^y = sin(t) cdot e^cos(t) + cos(t) cdot e^sin(t) e na função pelas suas expressões em função de :
Agora, temos expresso totalmente em termos de .

Passo 3

Agora que temos , vamos derivar essa função em relação a . Para isso, vamos usar a regra do produto, que nos diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo: ddt [sin(t) e^cos(t)] = cos(t) e^cos(t) + sin(t) cdot (-sin(t)) e^cos(t)
    • Derivada de ddt [cos(t) e^sin(t)] = -sin(t) e^sin(t) + cos(t) cdot cos(t) e^sin(t) é
    • Derivada de é (usando a regra da cadeia)
    • Aplicando a regra do produto:
  2. Segundo termo:
    • Derivada de é
    • Derivada de é (usando a regra da cadeia)
    • Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Agora, vamos somar as derivadas dos dois termos:
dzdt = [ cos(t) e^cos(t) - sin^2(t) e^cos(t) ] + [ -sin(t) e^sin(t) + cos^2(t) e^sin(t) ]
Podemos fatorar dzdt = e^cos(t) [cos(t) - sin^2(t)] + e^sin(t) [cos^2(t) - sin(t)] e nos respectivos grupos:

Resposta

A derivada parcial de partial zpartial t = e^cos(t) ( cos(t) - sin^2(t) ) + e^sin(t) ( cos^2(t) - sin(t) ) em relação a é:

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