Sejam
. Determine
de dois modos:
(b) Determinando a função composta
e derivando em relação a
.
(b) Determinando a função composta
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
, onde
e
. Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, vamos determinar a função composta
substituindo
e
por suas expressões em termos de
e, em seguida, derivar essa função em relação a
. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
e
na função
pelas suas expressões em função de
:
Agora, temos
expresso totalmente em termos de
.
Passo 3
Agora que temos
, vamos derivar essa função em relação a
. Para isso, vamos usar a regra do produto, que nos diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.
Passo 4
Vamos derivar cada termo separadamente:
-
Primeiro termo:
- Derivada de
é - Derivada de
é (usando a regra da cadeia) - Aplicando a regra do produto:
- Derivada de
-
Segundo termo:
- Derivada de
é - Derivada de
é (usando a regra da cadeia) - Aplicando a regra do produto:
- Derivada de
Passo 5
Agora, vamos somar as derivadas dos dois termos:
Podemos fatorar
e
nos respectivos grupos:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
é:
Exercícios relacionados
Determine
e
para as seguintes funções de duas variáveis:
(a)
(a)
Seja
o triângulo da figura a seguir e
a fronteira de
orientada no sentido anti-horário. Sejam
e
de classe
num aberto contendo
. Prove que
(Sugestão: Prove que
e
.)
Seja
uma função de uma variável e seja
, em que
. Mostre que
Suponha que
seja diferenciável no ponto
e
. Se
e
, encontre
para
.