Sejam . Determine de dois modos:
(b) Determinando a função composta e derivando em relação a .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função , onde e . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, vamos determinar a função composta substituindo e por suas expressões em termos de e, em seguida, derivar essa função em relação a . Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir e na função pelas suas expressões em função de :
Agora, temos expresso totalmente em termos de .

Passo 3

Agora que temos , vamos derivar essa função em relação a . Para isso, vamos usar a regra do produto, que nos diz que a derivada de um produto de duas funções é a derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda.

Passo 4

Vamos derivar cada termo separadamente:
  1. Primeiro termo:
    • Derivada de é
    • Derivada de é (usando a regra da cadeia)
    • Aplicando a regra do produto:
  2. Segundo termo:
    • Derivada de é
    • Derivada de é (usando a regra da cadeia)
    • Aplicando a regra do produto:

Passo 5

Agora, vamos somar as derivadas dos dois termos:
Podemos fatorar e nos respectivos grupos:

Resposta

A derivada parcial de em relação a é:

Exercícios relacionados

Determine e para as seguintes funções de duas variáveis:
(a)
Seja o triângulo da figura a seguir e a fronteira de orientada no sentido anti-horário. Sejam e de classe num aberto contendo . Prove que
(Sugestão: Prove que e .)
Seja uma função de uma variável e seja , em que . Mostre que
Suponha que seja diferenciável no ponto e . Se e , encontre para .