Seja
uma função de uma variável e seja
, em que
. Mostre que
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
de uma variável e outra função
, onde
. O objetivo é mostrar que a soma das derivadas parciais de
em relação a
,
e
é igual a 6 vezes a derivada de
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Como
e
, aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
:
Como
:
Passo 4
De forma semelhante, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Sabendo que
:
Resposta
Agora, somamos as três derivadas parciais:
Como
, podemos concluir que:
Assim, demonstramos o que foi solicitado.
Exercícios relacionados
Sejam
. Determine
de dois modos:
(b) Determinando a função composta e derivando em relação a
.
(b) Determinando a função composta
Determine
e
para as seguintes funções de duas variáveis:
(a)
(a)
Suponha que
seja diferenciável no ponto
e
. Se
e
, encontre
para
.
Sejam
. Determine
de dois modos:
(a) Usando a regra da cadeia;
(a) Usando a regra da cadeia;