Seja f uma função de uma variável e seja w=f(u), em que u=x+2 y+3 z. Mostre que
partial wpartial x+partial wpartial y+partial wpartial z=6 partial wpartial u

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de uma variável e outra função , onde . O objetivo é mostrar que a soma das derivadas parciais de em relação a , e é igual a 6 vezes a derivada de em relação a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial x = dfdu cdot partial upartial x em relação a partial wpartial x = f'(u) cdot 1 = f'(u) . Como e , aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial y = dfdu cdot partial upartial y em relação a partial wpartial y = f'(u) cdot 2 = 2f'(u) :
Como :

Passo 4

De forma semelhante, calculamos a derivada parcial de partial wpartial z = dfdu cdot partial upartial z em relação a partial wpartial z = f'(u) cdot 3 = 3f'(u) :
Sabendo que :

Resposta

Agora, somamos as três derivadas parciais:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = f'(u) + 2f'(u) + 3f'(u) = 6f'(u)
Como partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 6 partial wpartial u , podemos concluir que:
Assim, demonstramos o que foi solicitado.

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