Seja uma função de uma variável e seja , em que . Mostre que

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de uma variável e outra função , onde . O objetivo é mostrar que a soma das derivadas parciais de em relação a , e é igual a 6 vezes a derivada de em relação a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Como e , aplicamos a regra da cadeia:
Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Como :

Passo 4

De forma semelhante, calculamos a derivada parcial de em relação a :
Sabendo que :

Resposta

Agora, somamos as três derivadas parciais:
Como , podemos concluir que:
Assim, demonstramos o que foi solicitado.

Exercícios relacionados

Sejam . Determine de dois modos:
(b) Determinando a função composta e derivando em relação a .
Determine e para as seguintes funções de duas variáveis:
(a)
Suponha que seja diferenciável no ponto e . Se e , encontre para .
Sejam . Determine de dois modos:
(a) Usando a regra da cadeia;