Determine
e
:
(23.2)
(23.2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. O exercício está dentro do conteúdo de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais e de função definida por uma integral. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da diferenciação sob o sinal da integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
:
Isso significa que
depende de
e
, e é definida pela integral de
de
até
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
De acordo com o teorema fundamental do cálculo, se temos uma função definida por uma integral da forma
, a derivada em relação a
é simplesmente
.
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Para isso, usamos a regra da diferenciação sob o sinal da integral, que nos diz que podemos derivar dentro da integral se a função for contínua. Então, temos:
Calculando a derivada dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
Simplificando: