Determine partial varphipartial x e partial varphipartial y :
(23.2) varphi(x, y)=integral1^x(y+t)^2 d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e . O exercício está dentro do conteúdo de cálculo, mais especificamente de derivadas parciais e de função definida por uma integral. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da diferenciação sob o sinal da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função varphi(x, y) = integral1^x (y + t)^2 , dt :
Isso significa que depende de e , e é definida pela integral de de até .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de partial varphipartial x = (y + x)^2 em relação a , ou seja, .
De acordo com o teorema fundamental do cálculo, se temos uma função definida por uma integral da forma , a derivada em relação a é simplesmente .
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partial varphipartial y = integral1^x partialpartial y (y + t)^2 , dt em relação a partialpartial y (y + t)^2 = 2(y + t) , ou seja, partial varphipartial y = integral1^x 2(y + t) , dt .
Para isso, usamos a regra da diferenciação sob o sinal da integral, que nos diz que podemos derivar dentro da integral se a função for contínua. Então, temos:
Calculando a derivada dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral1^x 2(y + t) , dt = 2 integral1^x (y + t) , dt
Integrando termo a termo:
2 [ y t + t^22 ]1^x = 2 ( yx + x^22 - y cdot 1 - 1^22 )
Simplificando:
2 ( yx + x^22 - y - 12 ) = 2yx + x^2 - 2y - 1

Resposta

partial varphipartial x = (y + x)^2 e partial varphipartial y = 2 y x + x^2 - 2 y - 1

Exercícios relacionados