Determine partial varphipartial x e partial varphipartial y :
(23.4) varphi(x, y)=integral0^x cos (t^2 y) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de uma função definida por uma integral. O enunciado é:
varphi(x, y) = integral0^x cos (t^2 y) dt
Vamos precisar usar o conceito de derivação de funções definidas por integrais, especificamente a regra de Leibniz. Isso nos ajuda a derivar integrais onde os limites ou a função dentro da integral dependem das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de partialpartial x integrala(x)^b(x) f(t, y) dt = f(b(x), y) cdot b'(x) - f(a(x), y) cdot a'(x) + integrala(x)^b(x) partial fpartial x dt em relação a partial varphipartial x = cos(x^2 y) cdot 1 - 0 + 0 = cos(x^2 y) , ou seja, .
A regra de Leibniz para derivadas parciais diz que:
No nosso caso, (que é constante) e . Além disso, a função dentro da integral, , não depende de , então .
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de partialpartial y cos(t^2 y) = -t^2 sin(t^2 y) em relação a partial varphipartial y = integral0^x partialpartial y cos(t^2 y) dt = integral0^x -t^2 sin(t^2 y) dt , ou seja, .
Usando novamente a definição de derivada para integrais, mas agora como a variável está dentro da função , precisamos derivar a função dentro da integral em relação a .
A derivada de em relação a é:
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial varphipartial x = cos(x^2 y)
e
partial varphipartial y = -integral0^x t^2 sin(t^2 y) dt

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