Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
x y+y z-x z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação envolvendo , e , e precisa achar as derivadas parciais de em relação a e . O conteúdo aqui é de cálculo, especificamente de derivadas parciais e diferenciação implícita. Vamos precisar usar a regra da diferença para derivar quando está implícito na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que você deu:
x y + y z - x z = 0
Essa equação relaciona , e e queremos descobrir como muda quando a gente varia ou .

Passo 3

Vamos usar a diferenciação implícita para achar y + y partial zpartial x - z - x partial zpartial x = 0 . Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de e .
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é , porque é considerado constante.
  • A derivada de em relação a é , já que é constante e depende de .
  • A derivada de em relação a é , aplicando a regra do produto.
Então, temos:

Passo 4

Agora vamos resolver essa equação para y partial zpartial x - x partial zpartial x = z - y . Vamos agrupar os termos que têm partial zpartial x (y - x) = z - y :
partial zpartial x = z - yy - x
Factorizando :
Agora, isolamos :

Passo 5

Fazendo o mesmo para encontrar x + z + y partial zpartial y - x partial zpartial y = 0 , vamos derivar a equação original em relação a :
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 6

Vamos resolver para y partial zpartial y - x partial zpartial y = -x - z . Agrupamos os termos:
partial zpartial y (y - x) = -x - z
Factorizando partial zpartial y = -x - zy - x :
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = z - yy - x
e
partial zpartial y = -x - zy - x

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