Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação envolvendo
,
e
, e precisa achar as derivadas parciais de
em relação a
e
. O conteúdo aqui é de cálculo, especificamente de derivadas parciais e diferenciação implícita. Vamos precisar usar a regra da diferença para derivar quando
está implícito na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação que você deu:
Essa equação relaciona
,
e
e queremos descobrir como
muda quando a gente varia
ou
.
Passo 3
Vamos usar a diferenciação implícita para achar
. Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
é uma função de
e
.
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é , porque é considerado constante. - A derivada de
em relação a é , já que é constante e depende de . - A derivada de
em relação a é , aplicando a regra do produto.
Então, temos:
Passo 4
Agora vamos resolver essa equação para
. Vamos agrupar os termos que têm
:
Factorizando
:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Fazendo o mesmo para encontrar
, vamos derivar a equação original em relação a
:
Derivando cada termo:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, temos:
Passo 6
Vamos resolver para
. Agrupamos os termos:
Factorizando
:
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
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