Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação envolvendo , e , e precisa achar as derivadas parciais de em relação a e . O conteúdo aqui é de cálculo, especificamente de derivadas parciais e diferenciação implícita. Vamos precisar usar a regra da diferença para derivar quando está implícito na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação que você deu:
Essa equação relaciona , e e queremos descobrir como muda quando a gente varia ou .

Passo 3

Vamos usar a diferenciação implícita para achar . Isso significa que vamos derivar ambos os lados da equação em relação a , lembrando que é uma função de e .
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é , porque é considerado constante.
  • A derivada de em relação a é , já que é constante e depende de .
  • A derivada de em relação a é , aplicando a regra do produto.
Então, temos:

Passo 4

Agora vamos resolver essa equação para . Vamos agrupar os termos que têm :
Factorizando :
Agora, isolamos :

Passo 5

Fazendo o mesmo para encontrar , vamos derivar a equação original em relação a :
Derivando cada termo:
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é .
Então, temos:

Passo 6

Vamos resolver para . Agrupamos os termos:
Factorizando :
Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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