integral x^3raiz[7]x^2+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício para resolver a integral . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar escolher uma parte da expressão para substituir por uma nova variável, o que vai facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que possa simplificar a integral. Observando o denominador , uma boa escolha é definir . Isso porque a derivada de em relação a será útil para simplificar a integral.

Passo 3

Com dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx , vamos calcular a derivada de x , dx = du2 em relação a :
Agora, isolamos :
Isso nos ajudará a substituir as partes da integral.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Observe que integral x^3raiz[7]x^2+1 , dx = integral x cdot (u - 1)u^1/7 , dx , já que = integral (u - 1)u^1/7 cdot du2 = 12 integral u - 1u^1/7 , du . Substituindo na integral:
Agora, usamos :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
u - 1u^1/7 = u^1 - 17 - u^-17 = u^6/7 - u^-1/7
Então, a integral fica:
12 integral ( u^6/7 - u^-1/7 ) , du

Passo 6

Agora, podemos integrar termo a termo utilizando a fórmula integral u^6/7 , du = u^13/713/7 = 713 u^13/7 , onde integral u^-1/7 , du = u^6/76/7 = 76 u^6/7 é a constante de integração.
Integrando cada termo:

Passo 7

Substituindo as integrais de volta na expressão:
12 ( 713 u^13/7 - 76 u^6/7 ) + C
Podemos simplificar multiplicando os termos:
= 726 u^13/7 - 712 u^6/7 + C

Passo 8

Agora, vamos voltar à variável original = 726 (x^2 + 1)^13/7 - 712 (x^2 + 1)^6/7 + C , lembrando que :

Resposta

A integral 726 (x^2 + 1)^13/7 - 712 (x^2 + 1)^6/7 + C é igual a:

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