Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem o seguinte exercício para resolver a integral
. Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de integrais, especificamente usando a técnica de substituição. Vamos precisar escolher uma parte da expressão para substituir por uma nova variável, o que vai facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que possa simplificar a integral. Observando o denominador
, uma boa escolha é definir
. Isso porque a derivada de
em relação a
será útil para simplificar a integral.
Passo 3
Com
, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Agora, isolamos
:
Isso nos ajudará a substituir as partes da integral.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original usando a substituição que fizemos. Observe que
, já que
. Substituindo na integral:
Agora, usamos
:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, podemos integrar termo a termo utilizando a fórmula
, onde
é a constante de integração.
Integrando cada termo:
Passo 7
Substituindo as integrais de volta na expressão:
Podemos simplificar multiplicando os termos:
Passo 8
Agora, vamos voltar à variável original
, lembrando que
:
Resposta
A integral
é igual a:
Exercícios relacionados
Encontre os valores de
para os quais
no intervalo
.
Determine
e
.
Mude de coordenadas retangulares para esféricas.