Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e frações parciais. Vamos precisar lembrar como fazer substituições para simplificar integrais e também como decompor frações racionais em frações parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador
. Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar
. Isso significa que:
Agora, vamos calcular
:
Passo 3
Substituindo
e
na integral original:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
:
Expandindo:
Agrupando os termos:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Então,
.
Passo 7
Agora, substituímos
e
na expressão das frações parciais:
Portanto, a integral fica:
Passo 8
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Passo 9
Finalmente, lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A integral
é igual a:
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Encontre os valores de
para os quais
no intervalo
.
Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
.
Determine
e
.