Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e frações parciais. Vamos precisar lembrar como fazer substituições para simplificar integrais e também como decompor frações racionais em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador . Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar . Isso significa que:
Agora, vamos calcular :

Passo 3

Substituindo e na integral original:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador :
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum :
Expandindo:
Agrupando os termos:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes:
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos e na expressão das frações parciais:
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Calculando as integrais:
Substituindo de volta:

Passo 9

Finalmente, lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a:

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Encontre os valores de para os quais no intervalo .
Nas seguintes equações encontre outra solução distinta à solução dada no problema.
.
Determine e .