integral 1x-raizx+2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e frações parciais. Vamos precisar lembrar como fazer substituições para simplificar integrais e também como decompor frações racionais em frações parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador t = raizx + 2 Rightarrow x = t^2 - 2 . Para facilitar a integração, vamos fazer uma substituição. Vamos chamar dx = 2t , dt . Isso significa que:
Agora, vamos calcular :

Passo 3

Substituindo integral 1x - raizx + 2 , dx = integral 1(t^2 - 2) - t cdot 2t , dt = 2 integral tt^2 - t - 2 , dt e na integral original:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador t^2 - t - 2 = (t - 2)(t + 1) :
2 integral t(t - 2)(t + 1) , dt
Então, a integral fica:

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de frações parciais. Queremos escrever:
t(t - 2)(t + 1) = At - 2 + Bt + 1
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum t = A(t + 1) + B(t - 2) :
t = At + A + Bt - 2B
Expandindo:
t = (A + B)t + (A - 2B)
Agrupando os termos:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes:
A + B = 1 A - 2B = 0
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação, 2B + B = 1 Rightarrow 3B = 1 Rightarrow B = 13 . Substituindo na primeira:
Então, .

Passo 7

Agora, substituímos t(t - 2)(t + 1) = 23t - 2 + 13t + 1 e 2 integral ( 23t - 2 + 13t + 1 ) dt = 2 ( 23 integral 1t - 2 , dt + 13 integral 1t + 1 , dt ) na expressão das frações parciais:
Portanto, a integral fica:

Passo 8

Calculando as integrais:
integral 1t - 2 , dt = ln|t - 2| + C e integral 1t + 1 , dt = ln|t + 1| + C
Substituindo de volta:
2 ( 23 ln|t - 2| + 13 ln|t + 1| ) + C = 43 ln|t - 2| + 23 ln|t + 1| + C

Passo 9

Finalmente, lembrando que 43 ln|raizx + 2 - 2| + 23 ln|raizx + 2 + 1| + C , substituímos de volta:

Resposta

A integral 43 ln|raizx + 2 - 2| + 23 ln|raizx + 2 + 1| + C é igual a:

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