Resolva as equações diferenciais separáveis e os PVI.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial e encontrar a solução que passa pelo ponto dado. O exercício que você me enviou é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial separável, que é um tipo de equação onde podemos separar as variáveis
e
para lados opostos da equação. Vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada:
Podemos fatorar o
no numerador:
Agora, vamos reescrever
como
:
Passo 3
Nosso objetivo é separar os termos com
de um lado e os termos com
do outro. Para fazer isso, vamos manipular a equação:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
:
Isso separa as variáveis
e
em lados opostos da equação.
Passo 4
Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação. Dividindo
por
, temos:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação para encontrar as funções de
e
. Integrando:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 6
Integrando o lado esquerdo:
E integrando o lado direito:
Passo 7
Agora, juntamos os resultados das integrações:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
e
:
Sabemos que
não está definida no conjunto dos números reais, o que sugere que há uma restrição na solução. Contudo, assumindo
, a equação original também apresenta denominador zero
, indicando que essa é uma solução constante válida.
Resposta
A solução da equação diferencial que passa pelo ponto
é a função constante
.
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Seja
. Deduza que
.
Seja
. Use
e
na parte (b) para mostrar que
.
Determine
e
.