1. Determine e se .
  2. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
    (a)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nas questões que você trouxe. Temos duas partes aqui:
  1. Determinar e se .
  2. Determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem para .
Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais para resolver esses exercícios. Precisaremos entender como calcular derivadas parciais de funções compostas e de funções mais específicas, aplicando as regras de derivação passo a passo.

Passo 2

Comecemos pela primeira parte:
4. Determinar e se .
Primeiro, vamos identificar que é uma função de uma combinação linear de e , ou seja, , onde e são constantes. Então, podemos reescrever como .
Para encontrar as derivadas parciais e , vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos permite derivar funções compostas.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
Onde:
  • é a derivada de em relação a .
  • e são as derivadas parciais de em relação a e respectivamente.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de :
Então,

Passo 5

Agora, substituímos esses valores de volta nas expressões das derivadas parciais de :
Ou de forma mais compacta:
Aqui, representa a derivada de em relação ao seu argumento.

Passo 6

Agora vamos para a segunda parte:
5. Determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem para .
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, e depois derivar novamente para obter as de segunda ordem.

Passo 7

Encontrando as derivadas parciais de primeira ordem:
Para :
Para :

Passo 8

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Temos quatro derivadas possíveis:

Passo 9

Calculando :
Derivamos em relação a :

Passo 10

Calculando :
Derivamos em relação a :

Passo 11

Calculando :
Por teorema de Clairaut, se as derivadas forem contínuas, temos:

Passo 12

Calculando :
Derivamos em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem para são:

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