- Determine
e
se
.
- Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nas questões que você trouxe. Temos duas partes aqui:
-
Determinar
e se . -
Determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem para
.
Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais para resolver esses exercícios. Precisaremos entender como calcular derivadas parciais de funções compostas e de funções mais específicas, aplicando as regras de derivação passo a passo.
Passo 2
Comecemos pela primeira parte:
4. Determinar
e
se
.
Primeiro, vamos identificar que
é uma função de uma combinação linear de
e
, ou seja,
, onde
e
são constantes. Então, podemos reescrever
como
.
Para encontrar as derivadas parciais
e
, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos permite derivar funções compostas.
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia:
Onde:
-
é a derivada de em relação a . -
e são as derivadas parciais de em relação a e respectivamente.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
:
Então,
Passo 5
Agora, substituímos esses valores de volta nas expressões das derivadas parciais de
:
Ou de forma mais compacta:
Aqui,
representa a derivada de
em relação ao seu argumento.
Passo 6
Agora vamos para a segunda parte:
5. Determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem para
.
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, e depois derivar novamente para obter as de segunda ordem.
Passo 7
Encontrando as derivadas parciais de primeira ordem:
Para
:
Para
:
Passo 8
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Temos quatro derivadas possíveis:
Passo 9
Calculando
:
Derivamos
em relação a
:
Passo 10
Calculando
:
Derivamos
em relação a
:
Passo 11
Calculando
:
Por teorema de Clairaut, se as derivadas forem contínuas, temos:
Passo 12
Calculando
:
Derivamos
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem para
são:
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.