1. Determine partial z / partial x e partial z / partial y se z=f(a x+b y).
  2. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
    (a) f(x, y)=x^2 y+x raizy

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nas questões que você trouxe. Temos duas partes aqui:
  1. Determinar e se .
  2. Determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem para .
Vamos usar o conteúdo de derivadas parciais para resolver esses exercícios. Precisaremos entender como calcular derivadas parciais de funções compostas e de funções mais específicas, aplicando as regras de derivação passo a passo.

Passo 2

Comecemos pela primeira parte:
4. Determinar e se .
Primeiro, vamos identificar que é uma função de uma combinação linear de e , ou seja, , onde e são constantes. Então, podemos reescrever como .
Para encontrar as derivadas parciais e , vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. A regra da cadeia nos permite derivar funções compostas.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial x = dfdu cdot partial upartial x
partial zpartial y = dfdu cdot partial upartial y
Onde:
  • é a derivada de em relação a .
  • e são as derivadas parciais de em relação a e respectivamente.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de u = a x + b y :
partial upartial x = a
Então,
partial upartial y = b

Passo 5

Agora, substituímos esses valores de volta nas expressões das derivadas parciais de partial zpartial x = dfdu cdot a :
partial zpartial y = dfdu cdot b
partial zpartial x = a cdot f'(a x + b y)
Ou de forma mais compacta:
partial zpartial y = b cdot f'(a x + b y)
Aqui, representa a derivada de em relação ao seu argumento.

Passo 6

Agora vamos para a segunda parte:
5. Determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem para .
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, e depois derivar novamente para obter as de segunda ordem.

Passo 7

Encontrando as derivadas parciais de primeira ordem:
Para partial fpartial x = 2x y + raizy :
partial fpartial y = x^2 + x2 raizy
Para :

Passo 8

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Temos quatro derivadas possíveis:

Passo 9

Calculando partial^2 fpartial x^2 = 2 y :
Derivamos em relação a :

Passo 10

Calculando partial^2 fpartial x partial y = 2x + 12 y^-1/2 :
Derivamos em relação a :

Passo 11

Calculando partial^2 fpartial y partial x = partial^2 fpartial x partial y = 2x + 12 y^-1/2 :
Por teorema de Clairaut, se as derivadas forem contínuas, temos:

Passo 12

Calculando partial^2 fpartial y^2 = -x4 y^-3/2 :
Derivamos em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
partial zpartial x = a cdot f'(a x + b y)
partial zpartial y = b cdot f'(a x + b y)
As derivadas parciais de segunda ordem para partial^2 fpartial x^2 = 2 y são:
partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x = 2x + 12 y^-1/2
partial^2 fpartial y^2 = -x4 y^-3/2

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