Determine os pontos críticos da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função . Isso envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a e , igualar elas a zero e resolver o sistema de equações resultante. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de . A derivada parcial é como a derivada normal, mas só consideramos uma variável de cada vez, mantendo a outra constante.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , que chamamos de .

Passo 4

Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver a segunda equação primeiro, que é mais simples:

Passo 6

Agora, vamos resolver a primeira equação:
Isso nos dá duas possibilidades:

Passo 7

Então, combinando os valores de com , temos os pontos críticos:

Resposta

Os pontos críticos da função são , e .

Exercícios relacionados

Derive as funções aplicando os teoremas ou regras de derivação:
  1. Determine e se .
  2. Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
    (a)