Determine os pontos críticos da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos críticos da função
. Isso envolve calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, igualar elas a zero e resolver o sistema de equações resultante. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
. A derivada parcial é como a derivada normal, mas só consideramos uma variável de cada vez, mantendo a outra constante.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, que chamamos de
.
Passo 4
Os pontos críticos ocorrem onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Então, vamos resolver o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver a segunda equação primeiro, que é mais simples:
Passo 6
Agora, vamos resolver a primeira equação:
Isso nos dá duas possibilidades:
Passo 7
Então, combinando os valores de
com
, temos os pontos críticos:
Resposta
Os pontos críticos da função são
,
e
.
Exercícios relacionados
Derive as funções aplicando os teoremas ou regras de derivação:
- Determine
e se . - Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
(a)