Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
z=f(x / y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais de em relação a e , onde . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é uma ferramenta importante para entender como uma função muda quando uma de suas variáveis muda, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dentro de . Temos . Vamos chamar , então . Isso vai facilitar a aplicação da regra da cadeia.

Passo 3

Agora, para encontrar partial zpartial x = dfdu cdot partial upartial x , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a .
Matematicamente:

Passo 4

Vamos calcular partial upartial x = 1y . Sabemos que . Derivando isso em relação a , tratando como constante, temos:

Passo 5

Agora, juntando as partes, temos:
partial zpartial x = dfdu cdot 1y = f'(xy)y
Onde representa a derivada de em relação ao seu argumento.

Passo 6

Vamos repetir o processo para encontrar partial zpartial y = dfdu cdot partial upartial y . Novamente, usamos a regra da cadeia:

Passo 7

Calculamos partial upartial y = -xy^2 . Com , derivando em relação a , temos:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
partial zpartial y = dfdu cdot (-xy^2) = -x cdot f'(xy)y^2

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = f'(xy)y e partial zpartial y = -x cdot f'(xy)y^2

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