Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais de em relação a e , onde . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é uma ferramenta importante para entender como uma função muda quando uma de suas variáveis muda, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função dentro de . Temos . Vamos chamar , então . Isso vai facilitar a aplicação da regra da cadeia.

Passo 3

Agora, para encontrar , usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é a derivada de em relação a multiplicada pela derivada de em relação a .
Matematicamente:

Passo 4

Vamos calcular . Sabemos que . Derivando isso em relação a , tratando como constante, temos:

Passo 5

Agora, juntando as partes, temos:
Onde representa a derivada de em relação ao seu argumento.

Passo 6

Vamos repetir o processo para encontrar . Novamente, usamos a regra da cadeia:

Passo 7

Calculamos . Com , derivando em relação a , temos:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(e) .
Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
(e)
Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(d) .
Mostre que a curva parametrizada por é uma curva fechada simples.