Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as derivadas parciais de
em relação a
e
, onde
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas parciais, que é uma ferramenta importante para entender como uma função muda quando uma de suas variáveis muda, mantendo as outras constantes. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, especialmente a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função dentro de
. Temos
. Vamos chamar
, então
. Isso vai facilitar a aplicação da regra da cadeia.
Passo 3
Agora, para encontrar
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que a derivada de
em relação a
é a derivada de
em relação a
multiplicada pela derivada de
em relação a
.
Matematicamente:
Passo 4
Vamos calcular
. Sabemos que
. Derivando isso em relação a
, tratando
como constante, temos:
Passo 5
Agora, juntando as partes, temos:
Onde
representa a derivada de
em relação ao seu argumento.
Passo 6
Vamos repetir o processo para encontrar
. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Passo 7
Calculamos
. Com
, derivando em relação a
, temos:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na expressão da derivada:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(e) .
(e)
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(e)
(e)
Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(d) .
(d)
Mostre que a curva parametrizada por
é uma curva fechada simples.