Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
(e)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular a derivada do produto vetorial de duas curvas diferenciáveis, e . Isso está dentro do conteúdo de álgebra vetorial e cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto para derivadas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Se tivermos dois vetores e , o produto vetorial resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais. Esse produto tem propriedades específicas, especialmente quando aplicamos a operação de derivada.

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de em relação a , usamos a regra do produto para vetores. A regra diz que a derivada do produto vetorial de dois vetores é igual ao produto vetorial da derivada do primeiro vetor pelo segundo, mais o primeiro vetor vezes a derivada do segundo. Matematicamente, isso fica:

Resposta

Então, a derivada do produto vetorial das curvas e é:

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Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
(a)
Esboce o traço da curva parametrizada por . Compare com a curva do Exemplo visto em sala.
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(e) .
Determine e .