Suponha que alpha e beta sejam curvas diferenciáveis, c em R e f: R -> R uma função real diferenciável. Então,
(e) d/dt [alpha(t) x beta(t)] = alpha'(t) x beta(t) + alpha(t) x beta'(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para calcular a derivada do produto vetorial de duas curvas diferenciáveis, alpha(t) e . Isso está dentro do conteúdo de álgebra vetorial e cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do produto para derivadas de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o produto vetorial. Se tivermos dois vetores alpha(t) e , o produto vetorial resulta em um novo vetor perpendicular aos dois vetores originais. Esse produto tem propriedades específicas, especialmente quando aplicamos a operação de derivada.

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de em relação a t, usamos a regra do produto para vetores. A regra diz que a derivada do produto vetorial de dois vetores é igual ao produto vetorial da derivada do primeiro vetor pelo segundo, mais o primeiro vetor vezes a derivada do segundo. Matematicamente, isso fica:

Resposta

Então, a derivada do produto vetorial das curvas alpha(t) e é:

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