Mostre que a curva parametrizada por
é uma curva fechada simples.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a curva parametrizada por , onde
varia de
a
, é uma curva fechada simples. Isso significa que a curva retorna ao ponto inicial sem cruzar a si mesma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de curvas no espaço tridimensional e verificar duas coisas principais: se a curva é fechada e se ela não se cruza em nenhum ponto (simples).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a curva ser fechada. Uma curva é fechada se, ao final do intervalo de parametrização, ela retorna exatamente ao ponto onde começou. Matemática falando, precisamos verificar se
.
Vamos calcular:
Como
, a curva realmente retorna ao ponto inicial quando
completa o ciclo de
a
. Portanto, a curva é fechada.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que a curva é simples, ou seja, não se cruza em nenhum ponto diferente do inicial/final. Para isso, precisamos provar que se
para
, então necessariamente
ou
é múltiplo de
.
Vamos igualar as componentes:
Das equações (1) e (2), sabemos que
e implicam que
, onde
é um número inteiro. Dentro do intervalo
, isso significa que
. Portanto, não existem dois valores distintos de
que resultem no mesmo ponto na curva, garantindo que ela não se cruza.
Resposta
Concluímos que a curva parametrizada por para
é uma curva fechada simples, pois retorna ao ponto inicial sem se cruzar em nenhum outro ponto.
Exercícios relacionados
Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(d) .
(d)
Determine
e
.
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(d)
(d)