Mostre que a curva parametrizada por é uma curva fechada simples.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a curva parametrizada por , onde varia de a , é uma curva fechada simples. Isso significa que a curva retorna ao ponto inicial sem cruzar a si mesma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de curvas no espaço tridimensional e verificar duas coisas principais: se a curva é fechada e se ela não se cruza em nenhum ponto (simples).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a curva ser fechada. Uma curva é fechada se, ao final do intervalo de parametrização, ela retorna exatamente ao ponto onde começou. Matemática falando, precisamos verificar se .
Vamos calcular:
Como , a curva realmente retorna ao ponto inicial quando completa o ciclo de a . Portanto, a curva é fechada.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que a curva é simples, ou seja, não se cruza em nenhum ponto diferente do inicial/final. Para isso, precisamos provar que se para , então necessariamente ou é múltiplo de .
Vamos igualar as componentes:
Das equações (1) e (2), sabemos que e implicam que , onde é um número inteiro. Dentro do intervalo , isso significa que . Portanto, não existem dois valores distintos de que resultem no mesmo ponto na curva, garantindo que ela não se cruza.

Resposta

Concluímos que a curva parametrizada por para é uma curva fechada simples, pois retorna ao ponto inicial sem se cruzar em nenhum outro ponto.

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Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(d) .
Determine e .
Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
(d)