Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(d) gamma(t) = (sen(t), cos(t), sen(t)^2), t em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar e fazer um esboço do traço da curva dada por , onde t é um número real. O conteúdo que vamos usar aqui envolve parametrização de curvas no espaço tridimensional. Precisamos entender como cada componente da função gamma(t) se relaciona para desenhar o esboço da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função gamma(t). Temos:
Isso significa que, para cada valor de t, obtemos um ponto no espaço com as coordenadas .

Passo 3

Vamos tentar relacionar x e y para simplificar. Sabemos que , que é a identidade trigonométrica básica. Substituindo x por sen(t) e y por cos(t), temos:
Isso nos mostra que, no plano xy, a curva projeta um círculo de raio 1.

Passo 4

Agora, vamos analisar a componente . Podemos expressar z em função de x, já que . Então:
Isso significa que, à medida que nos movemos ao longo do círculo no plano xy, a altura z varia de acordo com o quadrado de x.

Passo 5

Com essas informações, podemos esboçar a curva no espaço tridimensional. No plano xy, temos um círculo de raio 1. A componente z adiciona uma dimensão extra, fazendo com que a curva suba e desça conforme x varia. Especificamente, quando x = 0, , e quando , . Isso cria uma espécie de “onda” ao longo do círculo.

Resposta

A curva traça um círculo no plano xy com raio 1, onde a altura z varia conforme . O esboço dessa curva é uma hélice circular que se move acima e abaixo do plano xy, formando uma superfície ondulada ao redor do círculo.

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