Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(d)
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar e fazer um esboço do traço da curva dada por
, onde
é um número real. O conteúdo que vamos usar aqui envolve parametrização de curvas no espaço tridimensional. Precisamos entender como cada componente da função
se relaciona para desenhar o esboço da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função
. Temos:
Isso significa que, para cada valor de
, obtemos um ponto no espaço com as coordenadas
.
Passo 3
Vamos tentar relacionar
e
para simplificar. Sabemos que
, que é a identidade trigonométrica básica. Substituindo
por
e
por
, temos:
Isso nos mostra que, no plano
, a curva projeta um círculo de raio 1.
Passo 4
Agora, vamos analisar a componente
. Podemos expressar
em função de
, já que
. Então:
Isso significa que, à medida que nos movemos ao longo do círculo no plano
, a altura
varia de acordo com o quadrado de
.
Passo 5
Com essas informações, podemos esboçar a curva no espaço tridimensional. No plano
, temos um círculo de raio 1. A componente
adiciona uma dimensão extra, fazendo com que a curva suba e desça conforme
varia. Especificamente, quando
,
, e quando
,
. Isso cria uma espécie de “onda” ao longo do círculo.
Resposta
A curva
traça um círculo no plano
com raio 1, onde a altura
varia conforme
. O esboço dessa curva é uma hélice circular que se move acima e abaixo do plano
, formando uma superfície ondulada ao redor do círculo.
Exercícios relacionados
Determine
e
.
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(e) .
(e)
Mostre que a curva parametrizada por
é uma curva fechada simples.
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(d)
(d)