Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(d) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para identificar e fazer um esboço do traço da curva dada por , onde é um número real. O conteúdo que vamos usar aqui envolve parametrização de curvas no espaço tridimensional. Precisamos entender como cada componente da função se relaciona para desenhar o esboço da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função . Temos:
Isso significa que, para cada valor de , obtemos um ponto no espaço com as coordenadas .

Passo 3

Vamos tentar relacionar e para simplificar. Sabemos que , que é a identidade trigonométrica básica. Substituindo por e por , temos:
Isso nos mostra que, no plano , a curva projeta um círculo de raio 1.

Passo 4

Agora, vamos analisar a componente . Podemos expressar em função de , já que . Então:
Isso significa que, à medida que nos movemos ao longo do círculo no plano , a altura varia de acordo com o quadrado de .

Passo 5

Com essas informações, podemos esboçar a curva no espaço tridimensional. No plano , temos um círculo de raio 1. A componente adiciona uma dimensão extra, fazendo com que a curva suba e desça conforme varia. Especificamente, quando , , e quando , . Isso cria uma espécie de “onda” ao longo do círculo.

Resposta

A curva traça um círculo no plano com raio 1, onde a altura varia conforme . O esboço dessa curva é uma hélice circular que se move acima e abaixo do plano , formando uma superfície ondulada ao redor do círculo.

Exercícios relacionados

Determine e .
Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(e) .
Mostre que a curva parametrizada por é uma curva fechada simples.
Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
(d)