Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(e) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva parametrizada por , onde varia de a . Isso faz parte do estudo de curvas parametrizadas no cálculo, onde a gente descreve uma curva no plano usando um parâmetro, nesse caso, o . Para resolver, vamos entender como os valores de afetam as coordenadas e da curva e, assim, desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da função representa:
  • A coordenada é dada por .
  • A coordenada é dada por .
Isso significa que para cada valor de entre e , a gente calcula um ponto no plano.

Passo 3

Vamos começar calculando alguns pontos chave substituindo valores específicos de na função .
  1. Quando :
    Ponto:
  2. Quando :
    Ponto:
  3. Quando :
    Ponto:
  4. Quando :
    Ponto:
  5. Quando :
    Ponto:

Passo 4

Agora que temos alguns pontos, vamos observar como e se comportam conforme varia:
  • Para : À medida que aumenta, diminui porque aumenta.
  • Para : aumenta linearmente conforme aumenta.
Isso sugere que a curva vai começar em quando , subir até quando , e depois descer novamente até quando .

Passo 5

Vamos tentar eliminar o parâmetro para encontrar a relação entre e . Da equação de , temos:
Substituindo na equação de :
Então, a equação da curva em termos de é:
Essa é a equação de uma parábola que abre para a esquerda.

Passo 6

Com essa equação, podemos identificar o formato da curva:
Isso é uma parábola que pode ser escrita na forma geral . Com um pouco de arrumação, podemos encontrar o vértice da parábola.
Completar o quadrado para :
Então, a equação fica:
Isso nos diz que o vértice da parábola está em e que a parábola abre para a esquerda por causa do coeficiente negativo.

Resposta

A curva parametrizada por , para entre e , é uma parábola com vértice em que abre para a esquerda. O esboço do traço da curva passa pelos pontos , , , e , formando uma parábola simétrica em relação a .

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Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
(e)
Suponha que e sejam curvas diferenciáveis, e uma função real diferenciável. Então,
(a)
Determine e .
Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(d) .