Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(e)
.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva parametrizada por
, onde
varia de
a
. Isso faz parte do estudo de curvas parametrizadas no cálculo, onde a gente descreve uma curva no plano usando um parâmetro, nesse caso, o
. Para resolver, vamos entender como os valores de
afetam as coordenadas
e
da curva e, assim, desenhar o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada componente da função
representa:
- A coordenada
é dada por . - A coordenada
é dada por .
Isso significa que para cada valor de
entre
e
, a gente calcula um ponto
no plano.
Passo 3
Vamos começar calculando alguns pontos chave substituindo valores específicos de
na função
.
-
Quando
: Ponto: -
Quando
: Ponto: -
Quando
: Ponto: -
Quando
: Ponto: -
Quando
: Ponto:
Passo 4
Agora que temos alguns pontos, vamos observar como
e
se comportam conforme
varia:
- Para
: À medida que aumenta, diminui porque aumenta. - Para
: aumenta linearmente conforme aumenta.
Isso sugere que a curva vai começar em
quando
, subir até
quando
, e depois descer novamente até
quando
.
Passo 5
Vamos tentar eliminar o parâmetro
para encontrar a relação entre
e
. Da equação de
, temos:
Substituindo na equação de
:
Então, a equação da curva em termos de
é:
Essa é a equação de uma parábola que abre para a esquerda.
Passo 6
Com essa equação, podemos identificar o formato da curva:
Isso é uma parábola que pode ser escrita na forma geral
. Com um pouco de arrumação, podemos encontrar o vértice da parábola.
Completar o quadrado para
:
Então, a equação fica:
Isso nos diz que o vértice da parábola está em
e que a parábola abre para a esquerda por causa do coeficiente negativo.
Resposta
A curva parametrizada por
, para
entre
e
, é uma parábola com vértice em
que abre para a esquerda. O esboço do traço da curva passa pelos pontos
,
,
,
e
, formando uma parábola simétrica em relação a
.
Exercícios relacionados
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(e)
(e)
Suponha que
e
sejam curvas diferenciáveis,
e
uma função real diferenciável. Então,
(a)
(a)
Determine
e
.
Identifique e faça um esboço do traço das seguintes curvas:
(d) .
(d)