Esboce o traço das curvas parametrizadas por
(e) gamma(t) = (1 - t^2, t - 2), t em [-2, 2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa esboçar o gráfico da curva parametrizada por , onde t varia de -2 a . Isso faz parte do estudo de curvas parametrizadas no cálculo, onde a gente descreve uma curva no plano usando um parâmetro, nesse caso, o t. Para resolver, vamos entender como os valores de t afetam as coordenadas x e y da curva e, assim, desenhar o gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada componente da função gamma(t) representa:
  • A coordenada x é dada por .
  • A coordenada y é dada por .
Isso significa que para cada valor de t entre -2 e , a gente calcula um ponto (x, y) no plano.

Passo 3

Vamos começar calculando alguns pontos chave substituindo valores específicos de t na função gamma(t).
  1. Quando :
    Ponto:
  2. Quando :
    Ponto:
  3. Quando :
    Ponto:
  4. Quando :
    Ponto:
  5. Quando :
    Ponto:

Passo 4

Agora que temos alguns pontos, vamos observar como x e y se comportam conforme t varia:
  • Para : À medida que |t| aumenta, x diminui porque aumenta.
  • Para : y aumenta linearmente conforme t aumenta.
Isso sugere que a curva vai começar em quando , subir até quando , e depois descer novamente até quando .

Passo 5

Vamos tentar eliminar o parâmetro t para encontrar a relação entre x e y. Da equação de y, temos:
Substituindo na equação de x:
Então, a equação da curva em termos de y é:
Essa é a equação de uma parábola que abre para a esquerda.

Passo 6

Com essa equação, podemos identificar o formato da curva:
Isso é uma parábola que pode ser escrita na forma geral . Com um pouco de arrumação, podemos encontrar o vértice da parábola.
Completar o quadrado para y:
Então, a equação fica:
Isso nos diz que o vértice da parábola está em e que a parábola abre para a esquerda por causa do coeficiente negativo.

Resposta

A curva parametrizada por , para t entre -2 e , é uma parábola com vértice em que abre para a esquerda. O esboço do traço da curva passa pelos pontos , , , e , formando uma parábola simétrica em relação a .

Exercícios relacionados