Determine
e
se
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, dado que
. Estamos trabalhando com derivadas parciais e regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Sabemos que
, onde
. Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
, e
é a derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Como
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar
. Supondo que
seja a derivada de
em relação a
, ou seja,
, já encontramos que:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Aplicando novamente a regra da cadeia:
Resposta
Portanto, as derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
.
m)
k)
Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.