Determine partial z / partial x e partial z^prime / partial y se z=f(a x+b y).

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para determinar as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , dado que . Estamos trabalhando com derivadas parciais e regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a regra da cadeia em funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar partial zpartial x = f'(u) cdot partial upartial x . Sabemos que , onde . Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia:
Aqui, é a derivada de em relação a , e é a derivada parcial de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos calcular partial upartial x = a . Como partial zpartial x = f'(a x + b y) cdot a = a f'(a x + b y) :
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar z' = a f'(a x + b y) . Supondo que partial z'partial y = a cdot partialpartial y ( f'(a x + b y) ) seja a derivada de partial z'partial y = a cdot f''(a x + b y) cdot b = a b f''(a x + b y) em relação a , ou seja, , já encontramos que:
Agora, vamos derivar em relação a :
Aplicando novamente a regra da cadeia:

Resposta

Portanto, as derivadas parciais são:
partial zpartial x = a f'(a x + b y)
e
partial z'partial y = a b f''(a x + b y)

Exercícios relacionados

A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: integral0^pi / 2 cos xraizsin x d x.
m) lim x 0 x^2ln (sec (x))
k) lim x 0 x^sen(x)
Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor. integral0^2 1(x-1)^1 / 3 d x.