A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! A questão nos pede para analisar por que a integral é imprópria e, depois, calcular o seu valor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e técnicas de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Uma integral é chamada de imprópria quando há descontinuidades na função integranda ou os limites de integração são infinitos. No nosso caso, a função tem um comportamento problemático em porque , fazendo com que o denominador se torne zero, o que torna a função não definida nesse ponto. Portanto, a integral é imprópria devido a essa descontinuidade no limite inferior.
Passo 3
Agora, vamos avaliar a integral. Para isso, podemos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos usar a substituição:
Com essa substituição, quando , e quando , . Assim, a integral fica:
Essa é uma integral mais simples de resolver. A integral de é:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é igual a 2.