A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: integral0^pi / 2 cos xraizsin x d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! A questão nos pede para analisar por que a integral é imprópria e, depois, calcular o seu valor. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais impróprias e técnicas de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Uma integral é chamada de imprópria quando há descontinuidades na função integranda ou os limites de integração são infinitos. No nosso caso, a função tem um comportamento problemático em porque , fazendo com que o denominador se torne zero, o que torna a função não definida nesse ponto. Portanto, a integral é imprópria devido a essa descontinuidade no limite inferior.

Passo 3

Agora, vamos avaliar a integral. Para isso, podemos fazer uma substituição que simplifique a expressão. Vamos usar a substituição:
u = sin x Rightarrow du = cos x , dx
Com essa substituição, quando integral0^1 1raizu , du , integral u^-1/2 , du = 2raizu + C e quando 2raizu g|0^1 = 2raiz1 - 2raiz0 = 2 - 0 = 2 , . Assim, a integral fica:
Essa é uma integral mais simples de resolver. A integral de é:
Aplicando os limites de integração:

Resposta

Portanto, a integral imprópria converge e seu valor é igual a 2.

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