m) lim x 0 x^2ln (sec (x))

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício envolve o conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente o uso de aproximações e expansões em séries de Taylor para funções trigonométricas e logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como expandir e de uma função próxima de 1 quando está próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão ln(sec(x)) = ln(1cos(x)) = -ln(cos(x)) . Sabemos que é o inverso de , então:

Passo 3

Agora, o limite fica:
limx 0 x^2ln (sec (x)) = limx 0 x^2-ln(cos(x)) = limx 0 -x^2ln(cos(x))

Passo 4

Para resolver esse limite, precisamos saber como a função cos(x) approx 1 - x^22 se comporta quando está próximo de 0. Usamos a expansão de Taylor para perto de 0:

Passo 5

Substituindo essa aproximação na função logarítmica:
ln(cos(x)) approx ln(1 - x^22)
Para valores pequenos de ln(1 - x^22) approx -x^22 , sabemos que quando é próximo de 0. Então:

Passo 6

Substituindo essa aproximação de volta no nosso limite:
-x^2ln(cos(x)) approx -x^2-x^22 = x^2x^22 = 2

Resposta

Portanto, o valor do limite é 2.

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