m)
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício envolve o conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente o uso de aproximações e expansões em séries de Taylor para funções trigonométricas e logarítmicas. Para resolver, vamos precisar entender como expandir
e
de uma função próxima de 1 quando
está próximo de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão
. Sabemos que
é o inverso de
, então:
Passo 3
Agora, o limite fica:
Passo 4
Para resolver esse limite, precisamos saber como a função
se comporta quando
está próximo de 0. Usamos a expansão de Taylor para
perto de 0:
Passo 5
Substituindo essa aproximação na função logarítmica:
Para valores pequenos de
, sabemos que
quando
é próximo de 0. Então:
Passo 6
Substituindo essa aproximação de volta no nosso limite:
Resposta
Portanto, o valor do limite é 2.
Exercícios relacionados
n)
Estude as convergências das sequências
:
A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
.
Determine
e
se
.