k) lim x 0 x^sen(x)

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de exponenciais e logaritmos, além de conhecer comportamentos básicos de funções quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de manipular. Lembre-se que x^sen(x) = e^sen(x) cdot ln(x) . Aplicando isso, temos:
Agora, o limite que queremos calcular se transforma em:

Passo 3

Vamos focar agora em calcular o limite dentro do expoente: .
Sabemos que quando sen(x) cdot ln(x) approx x cdot ln(x) se aproxima de 0, se comporta aproximadamente como , ou seja, . Então, podemos aproximar:

Passo 4

Agora, vamos calcular limx 0 ln(x)1/x = limx 0 1x-1x^2 = limx 0 -x = 0 .
Sabemos que tende a quando se aproxima de 0 pelo lado positivo. Porém, estamos multiplicando isso por , que tende a 0. Precisamos entender qual comportamento domina: o de tendendo a 0 ou o de tendendo a .
Para isso, podemos reescrever como . Agora, temos uma forma , que é uma indeterminação. Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada de é .
Derivada de é .
Então, temos:

Passo 5

Portanto, .
Agora, voltando à nossa expressão inicial:

Resposta

O limite é igual a 1.

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