k)
Passo 1
Vamos resolver o limite . Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites envolvendo funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar aplicar propriedades de exponenciais e logaritmos, além de conhecer comportamentos básicos de funções quando
se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão de uma forma que seja mais fácil de manipular. Lembre-se que
. Aplicando isso, temos:
Agora, o limite que queremos calcular se transforma em:
Passo 3
Vamos focar agora em calcular o limite dentro do expoente: .
Sabemos que quando
se aproxima de 0, se comporta aproximadamente como
, ou seja, . Então, podemos aproximar:
Passo 4
Agora, vamos calcular
.
Sabemos que
tende a
quando
se aproxima de 0 pelo lado positivo. Porém, estamos multiplicando isso por
, que tende a 0. Precisamos entender qual comportamento domina: o de
tendendo a 0 ou o de
tendendo a
.
Para isso, podemos reescrever
como
. Agora, temos uma forma
, que é uma indeterminação. Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador:
Derivada de
é
.
Derivada de
é
.
Então, temos:
Passo 5
Portanto, .
Agora, voltando à nossa expressão inicial:
Resposta
O limite é igual a 1.