Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a integral
é convergente. Se for, a gente também calcula o valor dela. Aqui, estamos trabalhando com integrais impróprias porque o denominador pode causar problemas em
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde a função dentro da integral pode causar problemas. No caso, o termo
no denominador se torna zero quando
, o que pode fazer a função tender ao infinito. Isso significa que a integral pode ser imprópria nesse ponto, e precisamos dividir a integral em dois intervalos: de 0 a 1 e de 1 a 2.
Passo 3
Vamos calcular a integral de 0 a 1:
Fazendo a substituição
, temos
. A integral fica:
A função
é integrável no intervalo
, então essa parte da integral é convergente.
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral de 1 a 2:
Fazendo novamente a substituição
, temos
. A integral fica:
A função
também é integrável no intervalo
, então essa parte da integral também é convergente.
Passo 5
Como as duas partes da integral são convergentes, a integral original
é convergente. Agora, vamos calcular o valor dela somando as duas partes:
Para
:
Para
:
Somando as duas partes:
Resposta
A integral
é convergente e o seu valor é 0.
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k)
Determine
e
se
.
o)
Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor.
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