Nos problemas a seguir, determine se cada integral é convergente. Se a integral for convergente, calcule seu valor. integral0^2 1(x-1)^1 / 3 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente verificar se a integral é convergente. Se for, a gente também calcula o valor dela. Aqui, estamos trabalhando com integrais impróprias porque o denominador pode causar problemas em .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde a função dentro da integral pode causar problemas. No caso, o termo no denominador se torna zero quando , o que pode fazer a função tender ao infinito. Isso significa que a integral pode ser imprópria nesse ponto, e precisamos dividir a integral em dois intervalos: de 0 a 1 e de 1 a 2.

Passo 3

Vamos calcular a integral de 0 a 1:
integral0^1 1(x-1)^1 / 3 , dx
Fazendo a substituição integral-1^0 1u^1/3 , du , temos . A integral fica:
A função é integrável no intervalo , então essa parte da integral é convergente.

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral de 1 a 2:
integral1^2 1(x-1)^1 / 3 , dx
Fazendo novamente a substituição integral0^1 1u^1/3 , du , temos . A integral fica:
A função também é integrável no intervalo , então essa parte da integral também é convergente.

Passo 5

Como as duas partes da integral são convergentes, a integral original integral-1^0 u^-1/3 , du = [ 32 u^2/3 ]-1^0 = 32(0) - 32(-1)^2/3 = 0 - 32(1) = -32 é convergente. Agora, vamos calcular o valor dela somando as duas partes:
Para integral0^1 u^-1/3 , du = [ 32 u^2/3 ]0^1 = 32(1) - 32(0) = 32 - 0 = 32 :
Para :
Somando as duas partes:

Resposta

A integral é convergente e o seu valor é 0.

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