determine
e
para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação envolvendo as variáveis
,
e
:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que é uma técnica da matemática que permite encontrar derivadas quando
está definida de forma implícita por uma equação envolvendo
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos diferenciar a equação inteira em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
e
, então ao diferenciar termos que envolvem
, precisamos aplicar a regra da cadeia.
Vamos diferenciar cada termo:
-
Diferenciando
em relação a : Usamos a regra do produto e a regra da cadeia: -
Diferenciando
em relação a : Novamente, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia: -
Diferenciando
em relação a : A derivada de uma constante é zero:
Passo 3
Agora, vamos juntar todas essas derivadas e igualar a zero, já que a derivada do lado direito da equação original é zero:
Agora, vamos isolar
:
Dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica
:
Passo 4
Agora, vamos repetir o processo, mas diferenciando a equação original em relação a
para encontrar
.
-
Diferenciando
em relação a : -
Diferenciando
em relação a : -
Diferenciando
em relação a :
Juntando tudo e igualando a zero:
Isolando
:
Dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Encontre uma equação para o plano tangente à superfície de
no ponto
.
a)
b)
c)
d)
e) par
ímpar)
f) (
primo
par)
g) primo
ímpar
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Nos exercícios 9 e 10 verifique que
é um fator de integração que transforma a EDO dada em uma ẸDO exata e resolva a EDO.