determine e para

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação envolvendo as variáveis , e :
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que é uma técnica da matemática que permite encontrar derivadas quando está definida de forma implícita por uma equação envolvendo e .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação inteira em relação a . Lembre-se que é uma função de e , então ao diferenciar termos que envolvem , precisamos aplicar a regra da cadeia.
Vamos diferenciar cada termo:
  1. Diferenciando em relação a :
    Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
  2. Diferenciando em relação a :
    Novamente, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
  3. Diferenciando em relação a :
    A derivada de uma constante é zero:

Passo 3

Agora, vamos juntar todas essas derivadas e igualar a zero, já que a derivada do lado direito da equação original é zero:
Agora, vamos isolar :
Dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica :

Passo 4

Agora, vamos repetir o processo, mas diferenciando a equação original em relação a para encontrar .
  1. Diferenciando em relação a :
  2. Diferenciando em relação a :
  3. Diferenciando em relação a :
Juntando tudo e igualando a zero:
Isolando :
Dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Encontre uma equação para o plano tangente à superfície de no ponto .
a)
b)
c)
d)
e) par ímpar)
f) ( primo par)
g) primo ímpar
Nos exercícios 9 e 10 verifique que é um fator de integração que transforma a EDO dada em uma ẸDO exata e resolva a EDO.