determine partial zpartial x e partial zpartial y para e^x y cos y z-e^y z sen x z+2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação envolvendo as variáveis e^x y cos(y z) - e^y z sin(x z) + 2 = 0 , e :
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que é uma técnica da matemática que permite encontrar derivadas quando está definida de forma implícita por uma equação envolvendo e .

Passo 2

Primeiro, vamos diferenciar a equação inteira em relação a partialpartial x ( e^x y cos(y z) ) = e^x y y cos(y z) + e^x y ( -sin(y z) cdot y partial zpartial x ) . Lembre-se que partialpartial x ( -e^y z sin(x z) ) = -e^y z z sin(x z) - e^y z cos(x z) cdot z partial zpartial x é uma função de partialpartial x (2) = 0 e , então ao diferenciar termos que envolvem , precisamos aplicar a regra da cadeia.
Vamos diferenciar cada termo:
  1. Diferenciando em relação a :
    Usamos a regra do produto e a regra da cadeia:
  2. Diferenciando em relação a :
    Novamente, aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia:
  3. Diferenciando em relação a :
    A derivada de uma constante é zero:

Passo 3

Agora, vamos juntar todas essas derivadas e igualar a zero, já que a derivada do lado direito da equação original é zero:
e^x y y cos(y z) - e^x y y sin(y z) partial zpartial x - e^y z z sin(x z) - e^y z z cos(x z) partial zpartial x = 0
Agora, vamos isolar ( -e^x y y sin(y z) - e^y z z cos(x z) ) partial zpartial x = -e^x y y cos(y z) + e^y z z sin(x z) :
partial zpartial x = e^x y y cos(y z) - e^y z z sin(x z)e^x y y sin(y z) + e^y z z cos(x z)
Dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica :

Passo 4

Agora, vamos repetir o processo, mas diferenciando a equação original em relação a partialpartial y ( e^x y cos(y z) ) = e^x y x cos(y z) + e^x y ( -sin(y z) cdot (z + y partial zpartial y) ) para encontrar partialpartial y ( -e^y z sin(x z) ) = -e^y z (z + y partial zpartial y) sin(x z) .
  1. Diferenciando partialpartial y (2) = 0 em relação a e^x y x cos(y z) - e^x y sin(y z) z - e^x y y sin(y z) partial zpartial y - e^y z z sin(x z) - e^y z y sin(x z) partial zpartial y = 0 :
    ( -e^x y y sin(y z) - e^y z y sin(x z) ) partial zpartial y = -e^x y x cos(y z) + e^x y z sin(y z) + e^y z z sin(x z)
  2. Diferenciando partial zpartial y = e^x y x cos(y z) - e^x y z sin(y z) - e^y z z sin(x z)e^x y y sin(y z) + e^y z y sin(x z) em relação a :
  3. Diferenciando em relação a :
Juntando tudo e igualando a zero:
Isolando :
Dividindo ambos os lados pela expressão que multiplica :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = e^x y y cos(y z) - e^y z z sin(x z)e^x y y sin(y z) + e^y z z cos(x z)
e
partial zpartial y = e^x y x cos(y z) - e^x y z sin(y z) - e^y z z sin(x z)e^x y y sin(y z) + e^y z y sin(x z)

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