Nos exercícios 9 e 10 verifique que
é um fator de integração que transforma a EDO dada em uma ẸDO exata e resolva a EDO.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Utilizamos cálculo de EDOs exatas e um fator de integração
. Vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como aplicar o fator de integração para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão:
Onde:
Passo 3
Uma EDO é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos verificar isso:
Como
, a EDO não é exata inicialmente.
Passo 4
Para tornar a EDO exata, usamos um fator de integração
. No caso, foi dado:
Multiplicamos toda a EDO por esse fator:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, a EDO está na forma:
Com:
Vamos verificar se é exata:
Como são iguais, a EDO agora é exata.
Passo 6
Para resolver uma EDO exata, encontramos uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando
:
Passo 8
Assim, a função
é:
Resposta
A solução da EDO é:
Onde
é a constante de integração.