Nos exercícios 9 e 10 verifique que lambda = lambda(x, y) é um fator de integração que transforma a EDO dada em uma ẸDO exata e resolva a EDO.
x^2 y^3 + x(1 + y^2) y' = 0 ; lambda(x, y) = 1 / (x y^3)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (EDO):
Utilizamos cálculo de EDOs exatas e um fator de integração . Vamos precisar entender o que é uma EDO exata e como aplicar o fator de integração para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO na forma padrão:
Onde:

Passo 3

Uma EDO é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos verificar isso:
Como , a EDO não é exata inicialmente.

Passo 4

Para tornar a EDO exata, usamos um fator de integração . No caso, foi dado:
Multiplicamos toda a EDO por esse fator:
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, a EDO está na forma:
Com:
Vamos verificar se é exata:
Como são iguais, a EDO agora é exata.

Passo 6

Para resolver uma EDO exata, encontramos uma função tal que:
Integrando em relação a :

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando :

Passo 8

Assim, a função é:

Resposta

A solução da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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