Encontre uma equação para o plano tangente à superfície de no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação do plano tangente à superfície dada por no ponto . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, especificamente no tópico de planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície no ponto é dado pela fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de no ponto . Supondo que esteja bem definida e diferenciável, fazemos:
Essas derivadas nos dão as inclinações do plano nas direções de e .
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, substituímos na fórmula do plano tangente:
Isso nos dá a equação desejada do plano tangente.
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto é: