Use o Teorema de Stokes para calcular integral duplaS curl F cdot d S.
F(x, y, z)=x^2 z^2 i+y^2 z^2 j+x y z k, S é a parte do paraboloide z=x^2+y^2 que está dentro do cilindro x^2+y^2=4, com orientação ascendente
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
E. 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície integral duplaS curl F cdot d S = ointC F cdot d r . A função vetorial é . A superfície é a parte do paraboloide que está dentro do cilindro , com orientação ascendente.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial a uma integral de linha ao redor da borda dessa superfície. Ou seja:
Vamos seguir passo a passo para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva , que é a borda da superfície . Como está no paraboloide e dentro do cilindro , a interseção desses dois dá . Portanto, é o círculo no plano .

Passo 3

Agora, segundo o Teorema de Stokes, podemos transformar a integral de superfície em uma integral de linha ao redor de integral duplaS curl F cdot d S = ointC F cdot d r :
Vamos parametrizar a curva . Usando coordenadas polares, onde , , e , com indo de a .

Passo 4

Calculando dr = drdtheta dtheta = (-2sintheta i + 2costheta j + 0 k) dtheta :
F = (x^2 z^2) i + (y^2 z^2) j + (x y z) k = (4 cdot 16) i + (4 cdot 16) j + (2costheta cdot 2sintheta cdot 4) k = 64i + 64j + 16sin(2theta)k
Agora, substituindo , , e na função :

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F cdot dr = 64(-2sintheta) + 64(2costheta) + 16sin(2theta)(0) = -128sintheta + 128costheta :

Passo 6

Agora, integramos ointC F cdot dr = integral0^2pi (-128sintheta + 128costheta) dtheta de integral0^2pi -128sintheta , dtheta = 128costheta |0^2pi = 128(cos 2pi - cos 0) = 128(1 - 1) = 0 a integral0^2pi 128costheta , dtheta = 128sintheta |0^2pi = 128(sin 2pi - sin 0) = 128(0 - 0) = 0 :
Integrando termo a termo:

Passo 7

Somando as integrais:
ointC F cdot dr = 0 + 0 = 0

Resposta

D. 0

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