Use o Teorema de Stokes para calcular
.
é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
, com orientação ascendente
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
E. 4
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
E. 4
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para usar o Teorema de Stokes para calcular a integral de superfície
. A função vetorial é
. A superfície
é a parte do paraboloide
que está dentro do cilindro
, com orientação ascendente.
Para resolver isso, vamos precisar entender o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial a uma integral de linha ao redor da borda dessa superfície. Ou seja:
Vamos seguir passo a passo para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a curva
, que é a borda da superfície
. Como
está no paraboloide
e dentro do cilindro
, a interseção desses dois dá
. Portanto,
é o círculo
no plano
.
Passo 3
Agora, segundo o Teorema de Stokes, podemos transformar a integral de superfície em uma integral de linha ao redor de
:
Vamos parametrizar a curva
. Usando coordenadas polares, onde
,
, e
, com
indo de
a
.
Passo 4
Calculando
:
Agora, substituindo
,
, e
na função
:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Agora, integramos
de
a
:
Integrando termo a termo:
Passo 7
Somando as integrais:
Resposta
D. 0