a)
b)
c)
d)
e)
par
ímpar)
f)
(
primo
par)
g)
primo
ímpar
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Vamos analisar o enunciado da questão. Cada item apresenta uma expressão lógica envolvendo quantificadores universais (∀) ou existenciais (∃) aplicados a uma variável
. O conteúdo está relacionado à lógica matemática, especificamente ao uso de quantificadores e operadores lógicos. Para resolvermos, vamos precisar entender o que cada quantificador e operador lógico significa e como aplicá-los a diferentes tipos de números.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos entender o que significa essa afirmação. O símbolo
significa “para todo” ou “para cada”. Então, a expressão está dizendo que, para todo número
, a soma de
mais 1 é maior que 2.
Agora, vamos verificar se isso é verdadeiro para todos os números
. Se escolhermos
:
Aqui,
não é maior que 2, é igual a 2. Portanto, a afirmação não é verdadeira para
.
Passo 3
Vamos analisar o item b). A expressão lógica apresentada utiliza o quantificador universal (
) e operadores lógicos de disjunção (
) e conjunção (
).
Passo 4
b)
Essa afirmação diz que, para todo número
, ou
é menor que 2 ou
é menor que 5 e maior que 3.
Vamos testar alguns valores de
:
-
Para
: -
é verdadeiro.
-
-
Para
: -
é falso. -
é verdadeiro e é verdadeiro. - Então, a expressão
é verdadeira.
-
-
Para
: -
é falso. -
é verdadeiro, mas é falso. - Então, a expressão
é falsa.
-
Como a afirmação deve ser verdadeira para todos os
, e vimos que para
ela é falsa, a afirmação não é verdadeira para todos os números.
Passo 5
Agora, vamos para o item c). Aqui utilizamos o quantificador existencial (
), que significa “existe”.
Passo 6
c)
Essa afirmação afirma que existe pelo menos um número
para o qual
é maior que 2.
Vamos verificar:
- Para
: -
, e é verdadeiro.
-
Como encontramos pelo menos um
que satisfaz a condição, a afirmação é verdadeira.
Passo 7
Passando para o item d), novamente usamos o quantificador existencial e operadores lógicos.
Passo 8
d)
Essa afirmação diz que existe pelo menos um número
que é menor que 2 ou que é menor que 5 e maior que 3.
Vamos verificar alguns valores:
-
Para
: -
é verdadeiro.
-
-
Para
: -
e são verdadeiros.
-
Como existem valores de
que satisfazem a condição, a afirmação é verdadeira.
Passo 9
Vamos agora analisar o item e), que envolve implicação lógica relacionada a números pares e ímpares.
Passo 10
e)
(
par
ímpar)
Essa afirmação diz que para todo número
, se
é par, então
é ímpar.
Primeiro, vamos relembrar:
- Número par: divisível por 2.
- Número ímpar: não divisível por 2.
Vamos verificar:
- Se
é par, digamos , onde é um inteiro. - Então,
, que é ímpar.
Portanto, sempre que
é par,
será ímpar.
Passo 11
Agora, vamos para o item f), que também trata de implicação lógica, mas relacionada a números primos.
Passo 12
f)
(
primo
par)
Essa afirmação afirma que para todo número
, se
é primo, então
é par.
Vamos lembrar:
- Número primo: maior que 1 e divisível apenas por 1 e por ele mesmo.
- Número par: divisível por 2.
Vamos verificar:
- Se
é um número primo diferente de 2, então é ímpar. - Somando 1 a um número ímpar, obtemos um número par.
- O caso especial é
, que é o único número primo par. -
, que é ímpar.
-
Portanto, a afirmação falha para
, já que
não é par.
Passo 13
Finalmente, analisaremos o item g), que combina propriedades de números primos e ímpares.
Passo 14
g)
primo
ímpar)
Essa afirmação afirma que existe pelo menos um número
que é primo e que
é ímpar.
Vamos verificar:
-
Considere
: -
é primo. -
, que é par. Não satisfaz a condição.
-
-
Considere
: -
é primo. -
, que é ímpar. Satisfaz a condição.
-
Como encontramos
que satisfaz ambas as condições, a afirmação é verdadeira.
Resposta
A afirmação g) é verdadeira, por exemplo, para
.
Exercícios relacionados
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e
para
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