Determine o que se pede: Determinar o valor de para que seja de 300 o ângulo entre os planos

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Geometria Analítica envolvendo ângulos entre planos. O enunciado pede pra encontrar o valor de de forma que o ângulo entre os planos e seja de 300 graus. Vamos precisar usar a fórmula que relaciona os coeficientes das equações dos planos para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, lembre que para encontrar o ângulo entre dois planos, a gente usa a relação entre os vetores normais desses planos. Os vetores normais são formados pelos coeficientes de , e nas equações dos planos. Então, para , o vetor normal é e para , é .

Passo 3

A fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores e é: Aqui, é o produto escalar dos vetores e e são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 5

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:

Passo 6

Sabemos que o ângulo entre os planos é 300 graus, mas como o ângulo entre dois planos está entre 0° e 90°, podemos considerar o ângulo complementário, que é 60°. Então, . Vamos usar a fórmula do cosseno: Sabemos que , então:

Passo 7

Vamos resolver a equação para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por : Sabendo que : Simplificando: Dividindo ambos os lados por 5:

Passo 8

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz: Calculando: Simplificando: Multiplicando ambos os lados por 2:

Passo 9

Vamos reorganizar a equação: Subtraindo de ambos os lados: Simplificando:

Passo 10

Agora, temos uma equação quadrática: Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver: Aqui, , e :

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

Exercícios relacionados

Dados os vetores e . Determine os seguintes produtos mistos: a)
Determine a posição relativa entre os seguintes planos: e ;
Determine: o ponto de intersecção entre a reta : , e a reta .
Seja e vetores pertencentes ao espaço vetorial , que possui base canônica . Faça a demostração das propriedades: