Determine o que se pede: Determinar o valor de
para que seja de 300 o ângulo entre os planos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Geometria Analítica envolvendo ângulos entre planos. O enunciado pede pra encontrar o valor de
de forma que o ângulo entre os planos
e
seja de 300 graus. Vamos precisar usar a fórmula que relaciona os coeficientes das equações dos planos para encontrar o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, lembre que para encontrar o ângulo entre dois planos, a gente usa a relação entre os vetores normais desses planos. Os vetores normais são formados pelos coeficientes de
,
e
nas equações dos planos. Então, para
, o vetor normal é
e para
, é
.
Passo 3
A fórmula para encontrar o ângulo
entre dois vetores
e
é:
Aqui,
é o produto escalar dos vetores e
e
são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
Passo 6
Sabemos que o ângulo entre os planos é 300 graus, mas como o ângulo entre dois planos está entre 0° e 90°, podemos considerar o ângulo complementário, que é 60°. Então,
.
Vamos usar a fórmula do cosseno:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Vamos resolver a equação para
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Sabendo que
:
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 5:
Passo 8
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 9
Vamos reorganizar a equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Simplificando:
Passo 10
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
Aqui,
,
e
:
Resposta
Os valores de
que satisfazem a condição são
e
.