Determine o que se pede: Determinar o valor de m para que seja de 300 o ângulo entre os planos pi1: x+m y+2 z-7=0 e pi2: 4 x+5 y+3 z-2=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Geometria Analítica envolvendo ângulos entre planos. O enunciado pede pra encontrar o valor de de forma que o ângulo entre os planos e seja de 300 graus. Vamos precisar usar a fórmula que relaciona os coeficientes das equações dos planos para encontrar o ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, lembre que para encontrar o ângulo entre dois planos, a gente usa a relação entre os vetores normais desses planos. Os vetores normais são formados pelos coeficientes de , e nas equações dos planos. Então, para , o vetor normal é e para , é .

Passo 3

A fórmula para encontrar o ângulo costheta = n1 cdot n2||n1|| , ||n2|| entre dois vetores e é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e e são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2 = (1)(4) + (m)(5) + (2)(3) = 4 + 5m + 6 = 10 + 5m :

Passo 5

Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
||n1|| = raiz1^2 + m^2 + 2^2 = raiz1 + m^2 + 4 = raizm^2 + 5
||n2|| = raiz4^2 + 5^2 + 3^2 = raiz16 + 25 + 9 = raiz50

Passo 6

Sabemos que o ângulo entre os planos é 300 graus, mas como o ângulo entre dois planos está entre 0° e 90°, podemos considerar o ângulo complementário, que é 60°. Então, cos60° = 10 + 5mraizm^2 + 5 cdot raiz50 .
Vamos usar a fórmula do cosseno:
0,5 = 10 + 5mraizm^2 + 5 cdot raiz50
Sabemos que , então:

Passo 7

Vamos resolver a equação para 0,5 cdot raizm^2 + 5 cdot raiz50 = 10 + 5m . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por 0,5 cdot raizm^2 + 5 cdot 5raiz2 = 10 + 5m :
52 raiz2 cdot raizm^2 + 5 = 10 + 5m
Sabendo que raiz22 raizm^2 + 5 = 2 + m :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 5:

Passo 8

Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
( raiz22 raizm^2 + 5 )^2 = (2 + m)^2
Calculando:
24 (m^2 + 5) = 4 + 4m + m^2
Simplificando:
m^2 + 52 = 4 + 4m + m^2
Multiplicando ambos os lados por 2:
m^2 + 5 = 8 + 8m + 2m^2

Passo 9

Vamos reorganizar a equação:
m^2 + 5 = 8 + 8m + 2m^2
Subtraindo 0 = 8 + 8m + m^2 - 5 de ambos os lados:
m^2 + 8m + 3 = 0
Simplificando:

Passo 10

Agora, temos uma equação quadrática:
m^2 + 8m + 3 = 0
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
m = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Aqui, m = -8 pm raiz64 - 12 2 = -8 pm raiz52 2 = -8 pm 2raiz13 2 = -4 pm raiz13 , e :

Resposta

Os valores de que satisfazem a condição são e .

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