Determine o que se pede: Determinar o valor de para que seja de 300 o ângulo entre os planos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de Geometria Analítica envolvendo ângulos entre planos. O enunciado pede pra encontrar o valor de de forma que o ângulo entre os planos e seja de 300 graus. Vamos precisar usar a fórmula que relaciona os coeficientes das equações dos planos para encontrar o ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, lembre que para encontrar o ângulo entre dois planos, a gente usa a relação entre os vetores normais desses planos. Os vetores normais são formados pelos coeficientes de , e nas equações dos planos. Então, para , o vetor normal é e para , é .
Passo 3
A fórmula para encontrar o ângulo entre dois vetores e é:
Aqui, é o produto escalar dos vetores e e são as magnitudes (comprimentos) dos vetores.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar :
Passo 5
Agora, calculamos as magnitudes dos vetores:
Passo 6
Sabemos que o ângulo entre os planos é 300 graus, mas como o ângulo entre dois planos está entre 0° e 90°, podemos considerar o ângulo complementário, que é 60°. Então, .
Vamos usar a fórmula do cosseno:
Sabemos que , então:
Passo 7
Vamos resolver a equação para . Primeiro, multiplicamos ambos os lados por :
Sabendo que :
Simplificando:
Dividindo ambos os lados por 5:
Passo 8
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Calculando:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Passo 9
Vamos reorganizar a equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Simplificando:
Passo 10
Agora, temos uma equação quadrática:
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
Aqui, , e :