Determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é sobre a função
. O que a gente precisa descobrir é:
- Período da função: Quanto tempo (ou intervalo) leva para a função repetir seu comportamento.
- Amplitude da função: O quão alto ou baixo a função vai em relação ao eixo central.
- Fazer o gráfico de um período completo: Desenhar a curva da função para um ciclo completo.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o seno, e como os parâmetros dentro da função afetam seu comportamento.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o período da função seno. A função seno básica,
, tem um período de
, o que significa que ela se repete a cada
unidades no eixo
.
Quando a função é modificada para
, o
dentro da função afeta o período. A fórmula para encontrar o período é:
No nosso caso, a função é
, então
.
Calculando o período:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a amplitude. A amplitude de uma função seno é o valor máximo que a função alcança em relação ao eixo central (normalmente o eixo
).
A forma geral da função é
, onde:
-
é a amplitude. -
afeta o período. -
é a fase (translação horizontal). -
é a translação vertical.
No nosso caso, a função é
, o que corresponde a
,
, e não há translações verticais (
).
Portanto, a amplitude é:
Isso significa que a função varia de -1 a 1 no eixo
.
Passo 4
Vamos agora desenhar o gráfico de um período completo da função
.
Sabemos que:
- O período é
, então vamos desenhar de a . - A amplitude é 1, então o gráfico vai oscilar entre -1 e 1 no eixo
. - A fase é
, o que significa que o gráfico está deslocado horizontalmente.
Para simplificar, podemos identificar pontos-chave dentro de um período:
- Início do período (
): (porque a fase desloca o gráfico para a direita). - Ponto máximo (
). - Ponto médio cruzando para cima (
). - Ponto mínimo (
). - Volta ao ponto médio (
) no final do período.
Desenhando esses pontos e conectando-os com uma curva suave em forma de onda, teremos o gráfico de um período completo da função.
Resposta
- Período:
- Amplitude:
- Gráfico: [Aqui você desenharia o gráfico da função
de a , mostrando um ciclo completo entre -1 e 1 no eixo .]
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