Determine, em
, o domínio das seguintes funções.
Passo 1
Beleza! A gente vai descobrir o domínio da função
. Isso significa encontrar todos os valores de
que fazem essa função funcionar direitinho. Vamos precisar saber sobre logaritmos e suas condições de existência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um logaritmo
existir, duas coisas precisam ser verdade:
- A base
tem que ser positiva e diferente de 1: e . - O argumento
tem que ser positivo: .
No nosso caso, a base é
e o argumento é
. Vamos estabelecer essas duas condições separadamente.
Passo 3
Condição 1: A base
deve ser positiva e diferente de 1.
-
Resolvendo:
-
Resolvendo:
Então, da primeira condição, temos que
e
.
Passo 4
Condição 2: O argumento
deve ser positivo.
Vamos resolver a inequação:
Primeiro, rearranjamos os termos:
Agora, encontramos as raízes da equação
.
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Isso divide a reta real em três intervalos. Testando um valor em cada intervalo:
-
Para
, por exemplo : Não satisfaz a inequação. -
Para
, por exemplo : Satisfaz a inequação. -
Para
, por exemplo : Não satisfaz a inequação.
Então, a solução da segunda condição é
.
Passo 5
Agora, juntamos as duas condições:
-
e -
Vamos intersectar esses intervalos:
- De
com , fica . - Também temos que
.
Passo 6
Então, o domínio da função é todos os números reais
tais que
, exceto
.
Resposta
O domínio de
é
com
, ou seja:
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