Determine, em R, o domínio das seguintes funções. f(x) = log(2x - 3)(3 + 2x - x^2)

Passo 1

Beleza! A gente vai descobrir o domínio da função . Isso significa encontrar todos os valores de que fazem essa função funcionar direitinho. Vamos precisar saber sobre logaritmos e suas condições de existência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para um logaritmo existir, duas coisas precisam ser verdade:
  1. A base tem que ser positiva e diferente de 1: e .
  2. O argumento tem que ser positivo: .
No nosso caso, a base é e o argumento é . Vamos estabelecer essas duas condições separadamente.

Passo 3

Condição 1: A base deve ser positiva e diferente de 1.
  1. Resolvendo:
  2. Resolvendo:
Então, da primeira condição, temos que e .

Passo 4

Condição 2: O argumento deve ser positivo.
Vamos resolver a inequação:
Primeiro, rearranjamos os termos:
Agora, encontramos as raízes da equação .
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são:
Isso divide a reta real em três intervalos. Testando um valor em cada intervalo:
  • Para , por exemplo :
    Não satisfaz a inequação.
  • Para , por exemplo :
    Satisfaz a inequação.
  • Para , por exemplo :
    Não satisfaz a inequação.
Então, a solução da segunda condição é .

Passo 5

Agora, juntamos as duas condições:
  1. e
Vamos intersectar esses intervalos:
  • De com , fica .
  • Também temos que .

Passo 6

Então, o domínio da função é todos os números reais tais que , exceto .

Resposta

O domínio de é com , ou seja:

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