Estudar os sinais das funções definidas em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar os sinais da função definida para todos os números reais, ou seja, para qualquer valor de
. A função que vamos analisar é
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e como encontrar onde elas são positivas ou negativas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estudar os sinais da função. Basicamente, queremos descobrir para quais valores de
a função
é positiva (acima do eixo
) ou negativa (abaixo do eixo
).
Passo 3
Nosso próximo passo é encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de
que fazem
. Para isso, resolvemos a equação quadrática:
Passo 4
Resolver uma equação quadrática geralmente envolve o uso da fórmula de Bhaskara. A fórmula é:
No nosso caso,
,
, e
. Vamos calcular o discriminante
:
Passo 5
Quando o discriminante
é igual a zero, isso significa que a equação tem dois valores iguais de
. Aplicando na fórmula de Bhaskara:
Então, a única raiz da função é
.
Passo 6
Agora que sabemos que a função toca o eixo
somente em
, vamos analisar o comportamento da função nos intervalos definidos por essa raiz. Temos dois intervalos:
Passo 7
Vamos escolher valores de
em cada intervalo para determinar o sinal de
.
-
Para
: Vamos pegar . -
Para
: Vamos pegar .
Passo 8
Observamos que, tanto para
quanto para
, o valor de
é positivo. No ponto
,
, ou seja, a função toca o eixo
.
Resposta
A função
é positiva para todos os valores de
em
excepto em
, onde
.
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