Estudar os sinais das funções definidas em R. y = x^2 - 2x + 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente estudar os sinais da função definida para todos os números reais, ou seja, para qualquer valor de . A função que vamos analisar é . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções quadráticas e como encontrar onde elas são positivas ou negativas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estudar os sinais da função. Basicamente, queremos descobrir para quais valores de a função é positiva (acima do eixo ) ou negativa (abaixo do eixo ).

Passo 3

Nosso próximo passo é encontrar as raízes da função, ou seja, os valores de que fazem . Para isso, resolvemos a equação quadrática:

Passo 4

Resolver uma equação quadrática geralmente envolve o uso da fórmula de Bhaskara. A fórmula é:
No nosso caso, , , e . Vamos calcular o discriminante :

Passo 5

Quando o discriminante é igual a zero, isso significa que a equação tem dois valores iguais de . Aplicando na fórmula de Bhaskara:
Então, a única raiz da função é .

Passo 6

Agora que sabemos que a função toca o eixo somente em , vamos analisar o comportamento da função nos intervalos definidos por essa raiz. Temos dois intervalos:

Passo 7

Vamos escolher valores de em cada intervalo para determinar o sinal de .
  • Para : Vamos pegar .
  • Para : Vamos pegar .

Passo 8

Observamos que, tanto para quanto para , o valor de é positivo. No ponto , , ou seja, a função toca o eixo .

Resposta

A função é positiva para todos os valores de em excepto em , onde .

Exercícios relacionados

Um consumidor quer comprar um bem, cuja aquisição pode ser feita de duas formas: (i) um pagamento à vista de R ou (b) dois pagamentos de b dois pagamentos de no primeiro e no segundo mês após a compra. Considerando uma taxa de 10000,00 ao mês, identifique a opção de compra mais vantajosa.
Determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas. f(x) = sen(2x - pi/3)
Calcule a rentabilidade efetiva para as seguintes aplicações de \$ : três bimestres, com taxa de juros de 8% a.a., com inflação de 0,2% a.m.
Jean está disposto a investir R em um projeto cultural, dividindo o pagamento em três parcelas anuais consecutivas após uma carência de 3 anos. Considerando uma taxa de juros de 10% ao ano e que as parcelas tem valor crescente de R$ 1.000,00 entre entre elas, calcule o valor de cada parcela.