Determine, em R, o domínio das seguintes funções. f(x) = raiz(x^2 - 3x + 2) / (x - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual é o domínio da função em . Ou seja, temos que encontrar todos os valores de que fazem a função existir. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais e funções com raiz quadrada.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte de baixo da fração, que é o denominador . A gente sabe que não pode dividir por zero, então precisamos que . Isso significa que:
Então, está fora do nosso domínio.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a raiz quadrada no numerador . A expressão dentro da raiz, chamada de radicando, precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz quadrada exista nos números reais. Então, temos que:
Vamos resolver essa inequação.

Passo 4

Para resolver , primeiro encontramos as raízes da equação quadrática:
Fatorando, temos:
Então, as raízes são e .

Passo 5

Agora, vamos analisar os intervalos criados por essas raízes para ver onde a expressão é positiva ou zero:
  1. Para : Escolha :
Então, nesse intervalo a expressão é positiva.
2. Para : Escolha :
Aqui, a expressão é negativa.
3. Para : Escolha :
Neste intervalo, a expressão é positiva.

Passo 6

Então, a solução para é:
Mas lembre-se que porque não podemos dividir por zero.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais menores que 1 ou maiores ou iguais a 2. Em forma de intervalo:

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