Determine, em
, o domínio das seguintes funções.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir qual é o domínio da função
em
. Ou seja, temos que encontrar todos os valores de
que fazem a função existir. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais e funções com raiz quadrada.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a parte de baixo da fração, que é o denominador
. A gente sabe que não pode dividir por zero, então precisamos que
. Isso significa que:
Então,
está fora do nosso domínio.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a raiz quadrada no numerador
. A expressão dentro da raiz, chamada de radicando, precisa ser maior ou igual a zero para que a raiz quadrada exista nos números reais. Então, temos que:
Vamos resolver essa inequação.
Passo 4
Para resolver
, primeiro encontramos as raízes da equação quadrática:
Fatorando, temos:
Então, as raízes são
e
.
Passo 5
Agora, vamos analisar os intervalos criados por essas raízes para ver onde a expressão é positiva ou zero:
- Para
: Escolha :
Então, nesse intervalo a expressão é positiva.
2. Para : Escolha
:
2. Para
Aqui, a expressão é negativa.
3. Para : Escolha
:
3. Para
Neste intervalo, a expressão é positiva.
Passo 6
Então, a solução para
é:
Mas lembre-se que
porque não podemos dividir por zero.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais menores que 1 ou maiores ou iguais a 2. Em forma de intervalo: