Determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos determinar três coisas:
- O período da função.
- A imagem (ou seja, os valores que a função pode assumir).
- Fazer o gráfico de um período completo dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções trigonométricas, especialmente o seno, e como a aplicação do valor absoluto e da constante afeta essas funções.
Passo 2
Vamos começar encontrando o período da função
.
A função básica
tem um período de
, o que significa que seu gráfico se repete a cada
unidades. Quando multiplicamos o seno por 3, ou seja,
, isso não altera o período, apenas a amplitude (altura máxima e mínima) da função.
Além disso, aplicar o valor absoluto não muda o período da função. O que acontece é que todos os valores negativos de
se tornam positivos, mas o intervalo de repetição continua sendo o mesmo.
Portanto, o período de
é
.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que
pode assumir.
A função
oscila entre -1 e 1. Quando multiplicamos por 3, a função
oscila entre -3 e 3. Porém, ao aplicar o valor absoluto, todos os valores negativos se tornam positivos.
Então,
vai oscilar entre 0 e 3. O menor valor que a função pode assumir é 0 (quando
) e o maior valor é 3 (quando
).
Portanto, a imagem de
é o intervalo
.
Passo 4
Por fim, vamos descrever como fazer o gráfico de um período completo da função
.
-
Eixo horizontal (x): Representa os valores de
em radianos, variando de 0 a . -
Eixo vertical (y): Representa os valores de
, variando de 0 a 3. -
Forma do gráfico:
- A função
normalmente tem ondas que vão de -1 a 1. - Multiplicando por 3, a amplitude se torna de -3 a 3.
- Aplicando o valor absoluto, todas as partes abaixo do eixo x (valores negativos) são refletidas acima, ficando de 0 a 3.
- A função
-
Pontos chave:
- Em
, . - Em
, . - Em
, . - Em
, . - Em
, .
- Em
-
Forma geral: O gráfico será composto por arcos “em V” que tocam o eixo x em múltiplos de
e alcançam o ponto mais alto em e .
Resposta
- Período:
- Imagem:
- Gráfico: Um gráfico de
com arcos que vão de 0 a , tocando o eixo x em e alcançando o ponto mais alto em e com altura máxima de 3.
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