Determine o período, a imagem e faça o gráfico de um período completo das funções dadas. f(x) = |3 sen x|

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos determinar três coisas:
  1. O período da função.
  2. A imagem (ou seja, os valores que a função pode assumir).
  3. Fazer o gráfico de um período completo dessa função.
Para resolver isso, vamos precisar saber sobre funções trigonométricas, especialmente o seno, e como a aplicação do valor absoluto e da constante afeta essas funções.

Passo 2

Vamos começar encontrando o período da função .
A função básica tem um período de , o que significa que seu gráfico se repete a cada unidades. Quando multiplicamos o seno por 3, ou seja, , isso não altera o período, apenas a amplitude (altura máxima e mínima) da função.
Além disso, aplicar o valor absoluto não muda o período da função. O que acontece é que todos os valores negativos de se tornam positivos, mas o intervalo de repetição continua sendo o mesmo.
Portanto, o período de é .

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, todos os possíveis valores que pode assumir.
A função oscila entre -1 e 1. Quando multiplicamos por 3, a função oscila entre -3 e 3. Porém, ao aplicar o valor absoluto, todos os valores negativos se tornam positivos.
Então, vai oscilar entre 0 e 3. O menor valor que a função pode assumir é 0 (quando ) e o maior valor é 3 (quando ).
Portanto, a imagem de é o intervalo .

Passo 4

Por fim, vamos descrever como fazer o gráfico de um período completo da função .
  1. Eixo horizontal (x): Representa os valores de em radianos, variando de 0 a .
  2. Eixo vertical (y): Representa os valores de , variando de 0 a 3.
  3. Forma do gráfico:
    • A função normalmente tem ondas que vão de -1 a 1.
    • Multiplicando por 3, a amplitude se torna de -3 a 3.
    • Aplicando o valor absoluto, todas as partes abaixo do eixo x (valores negativos) são refletidas acima, ficando de 0 a 3.
  4. Pontos chave:
    • Em , .
    • Em , .
    • Em , .
    • Em , .
    • Em , .
  5. Forma geral: O gráfico será composto por arcos “em V” que tocam o eixo x em múltiplos de e alcançam o ponto mais alto em e .

Resposta

  • Período:
  • Imagem:
  • Gráfico: Um gráfico de com arcos que vão de 0 a , tocando o eixo x em e alcançando o ponto mais alto em e com altura máxima de 3.

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