Determine o plano tangente à função f(x, y) = e^(-x^2 - y^2 + 2x + y). -2y + 1 em (x0, y0) (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente à função no ponto . Para isso, vamos usar conhecimento de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Substituindo e :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Essas derivadas nos darão as inclinações do plano tangente nas direções e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto:
Agora, substituindo e :

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto novamente:
Simplificando:
Agora, substituindo e :

Passo 5

Com os valores de , e , podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
Substituindo , :
Simplificando:

Resposta

O plano tangente à função no ponto é dado por:

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