Determine o plano tangente à função . em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente à função no ponto . Para isso, vamos usar conhecimento de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Substituindo e :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Essas derivadas nos darão as inclinações do plano tangente nas direções e .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto:
Agora, substituindo e :

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a :
Usando a regra do produto novamente:
Simplificando:
Agora, substituindo e :

Passo 5

Com os valores de , e , podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
Substituindo , :
Simplificando:

Resposta

O plano tangente à função no ponto é dado por:

Exercícios relacionados

Use o TVI para mostrar que as equações a seguir possuem uma raíz no intervalo especificado e encontre uma aproximação de cada raíz com erro máximo de 0.2.
(a) em
(b) em
A função dada abaixo é contínua?
Seja um polinômio de grau arbitrário .
(a) Calcule .O que podemos concluir sobre o crescimento da exponencial?
(Vale o seguinte fato: para qualquer .)
(b) Por outro lado, calcule . O que esse resultado diz sobre o crescimento do logaritmo?
Neste exercício seu objetivo será estimar o valor de por meio de uma aproximação linear.
a. Qual função pode ajudar a chegar ao resultado?