Determine o plano tangente à função
.
em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente à função
no ponto
. Para isso, vamos usar conhecimento de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais e a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função
no ponto
. Substituindo
e
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
. Essas derivadas nos darão as inclinações do plano tangente nas direções
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do produto:
Agora, substituindo
e
:
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do produto novamente:
Simplificando:
Agora, substituindo
e
:
Passo 5
Com os valores de
,
e
, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente é:
Substituindo
,
:
Simplificando:
Resposta
O plano tangente à função no ponto
é dado por: