Use o TVI para mostrar que as equações a seguir possuem uma raíz no intervalo especificado e encontre uma aproximação de cada raíz com erro máximo de 0.2.
(a) em
(b) em

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos mostrar que ela tem uma raíz no intervalo usando o Teorema do Valor Intermediário (TVI). Além disso, precisamos encontrar uma aproximação dessa raíz com um erro máximo de 0,2. Para isso, vamos precisar calcular os valores da função nos extremos do intervalo e ver como ela se comporta entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função . O TVI diz que se é contínua no intervalo e e têm sinais opostos, então existe pelo menos uma raíz nesse intervalo.

Passo 3

Vamos calcular :
Agora, :
Observamos que e , que têm sinais opostos.

Passo 4

Como e , pelo TVI, existe pelo menos uma raíz de no intervalo .

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma aproximação da raíz com erro máximo de 0,2. Isso significa que queremos um valor tal que í.

Passo 6

Vamos testar o ponto médio do intervalo , que é :
Como , a raíz está entre e .

Passo 7

Agora, vamos testar o ponto :
Ainda , então a raíz está entre e .

Passo 8

Vamos testar o ponto :
Agora, , indicando que a raíz está entre e .

Passo 9

Agora, vamos para a segunda equação: no intervalo . Queremos mostrar que existe uma raíz nesse intervalo usando o TVI e encontrar uma aproximação com erro máximo de 0,2. Vamos definir uma função para facilitar a análise.

Passo 10

Definimos a função . Novamente, vamos verificar os sinais de nos extremos do intervalo .

Passo 11

Calculando :
Calculando :
Vemos que e , sinais opostos.

Passo 12

Pelo TVI, como e , existe pelo menos uma raíz no intervalo .

Passo 13

Vamos encontrar uma aproximação da raíz com erro máximo de 0,2. Isso significa que a diferença entre a aproximação e a raíz real deve ser no máximo 0,2.

Passo 14

Vamos testar o ponto médio do intervalo , que é :
Como , a raíz está entre e .

Passo 15

Vamos testar o ponto :
Agora, , então a raíz está entre e .

Passo 16

Podemos parar por aqui, pois a largura do intervalo é , que é o nosso erro máximo permitido.

Resposta

Uma aproximação da raíz da equação no intervalo com erro máximo de 0,2 é .

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  • ,
  • , mas não está definida em
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(a) Calcule .O que podemos concluir sobre o crescimento da exponencial?
(Vale o seguinte fato: para qualquer .)
(b) Por outro lado, calcule . O que esse resultado diz sobre o crescimento do logaritmo?