Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . O exercício pede para saber se essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e verificar se não tem “quebra” na função nos pontos onde ela muda de expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando você se aproxima desse ponto pela esquerda e pela direita é igual ao valor da função naquele ponto. Sem saltos ou buracos.
Passo 3
Nossa função tem três partes:
quando
quando
quando
Vamos verificar a continuidade nos pontos onde a função muda de expressão, ou seja, em e .
Passo 4
Verificando em :
Limite pela esquerda ( se aproximando de 0.5 por valores menores):
Valor da função em :
Limite pela direita ( se aproximando de 0.5 por valores maiores ou iguais):
Como é diferente de , a função tem um salto em , ou seja, não é contínua nesse ponto.
Passo 5
Verificando em :
Limite pela esquerda ( se aproximando de 2 por valores menores ou iguais):
Valor da função em :
Limite pela direita ( se aproximando de 2 por valores maiores):
Aqui, todos os limites e o valor da função em são iguais a 1. Portanto, a função é contínua em .
Resposta
A função não é contínua no ponto devido a um salto, mas é contínua no ponto .