A função dada abaixo é contínua?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por partes, ou seja, ela muda de expressão dependendo do valor de . O exercício pede para saber se essa função é contínua. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e verificar se não tem “quebra” na função nos pontos onde ela muda de expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando você se aproxima desse ponto pela esquerda e pela direita é igual ao valor da função naquele ponto. Sem saltos ou buracos.

Passo 3

Nossa função tem três partes:
  1. quando
  2. quando
  3. quando
Vamos verificar a continuidade nos pontos onde a função muda de expressão, ou seja, em e .

Passo 4

Verificando em :
  • Limite pela esquerda ( se aproximando de 0.5 por valores menores):
  • Valor da função em :
  • Limite pela direita ( se aproximando de 0.5 por valores maiores ou iguais):
Como é diferente de , a função tem um salto em , ou seja, não é contínua nesse ponto.

Passo 5

Verificando em :
  • Limite pela esquerda ( se aproximando de 2 por valores menores ou iguais):
  • Valor da função em :
  • Limite pela direita ( se aproximando de 2 por valores maiores):
Aqui, todos os limites e o valor da função em são iguais a 1. Portanto, a função é contínua em .

Resposta

A função não é contínua no ponto devido a um salto, mas é contínua no ponto .

Exercícios relacionados

Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas a seguir:
  • ,
  • , mas não está definida em
Encontre os pontos críticos da função:
Use o TVI para mostrar que as equações a seguir possuem uma raíz no intervalo especificado e encontre uma aproximação de cada raíz com erro máximo de 0.2.
(a) em
(b) em
Determine o plano tangente à função . em .