Determine o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que achar o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função no ponto . Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e geometria de superfícies. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e , e usar essas para encontrar as equações do plano tangente e da reta normal.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo e na função:
Vamos converter tudo para décimos para facilitar:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas nos dão as inclinações do gráfico da função nas direções de e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais no ponto :

Passo 5

Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde é o ponto de tangência, que aqui é .
Substituindo:
Simplificando:

Passo 6

Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais, ou seja, .
Usando os valores que calculamos:
A equação paramétrica da reta normal passa pelo ponto e segue a direção do vetor normal. Então:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é dado por:
E a reta normal nesse ponto tem as equações paramétricas:

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