Determine o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que achar o plano tangente e a reta normal ao gráfico da função
no ponto
. Isso está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente envolvendo derivadas parciais e geometria de superfícies. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a
e
, e usar essas para encontrar as equações do plano tangente e da reta normal.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
. Substituindo
e
na função:
Vamos converter tudo para décimos para facilitar:
Então, o ponto é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Essas derivadas nos dão as inclinações do gráfico da função nas direções de
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais no ponto
:
Passo 5
Com as derivadas parciais, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde
é o ponto de tangência, que aqui é
.
Substituindo:
Simplificando:
Passo 6
Agora, para encontrar a reta normal, precisamos do vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é formado pelas derivadas parciais, ou seja,
.
Usando os valores que calculamos:
A equação paramétrica da reta normal passa pelo ponto
e segue a direção do vetor normal. Então:
Resposta
O plano tangente à superfície no ponto
é dado por:
E a reta normal nesse ponto tem as equações paramétricas:
Exercícios relacionados
Determine o plano tangente e a reta normal ao paraboloide eliptico
no ponto
.
Suponha que uma lâmina com densidade
ocupe a região
do plano
. Calcule a massa total
e as coordenadas
do centro de massa de
, em que
Um recipiente de metal, fechado, na forma de um cilindro circular reto, tem uma altura interna de 6 cm , um raio interno de 2 cm e uma espessura de
. Se o custo do metal a ser usado ć de RS 10,00 por centímetro cúbico, ache por diferenciais o custo aproximado do metal que scrá empregado na produção do recipiente.
.
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e obtivemos 10 cm e 25 cm , respectivamente, com possível erro nessas medidas de, no máximo
. Utilize a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do volume do cone.