Determine o plano tangente e a reta normal ao paraboloide eliptico no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal ao paraboloide elíptico dado pela equação no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que o ponto está realmente no paraboloide. Substituindo e na equação:
Então, o ponto está na superfície, tudo certo!
Passo 3
Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções e .
Calculando as derivadas:
No ponto :
Passo 4
Com as derivadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal passa pelo ponto de tangência e tem direção dada pelo vetor normal ao plano tangente. Esse vetor normal é formado pelas derivadas parciais, ou seja, . O componente vem do coeficiente de na equação do plano.