Determine o plano tangente e a reta normal ao paraboloide eliptico z = 2 x^2 + y^2 no ponto (1, 1, 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal ao paraboloide elíptico dado pela equação no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto está realmente no paraboloide. Substituindo e na equação:
Então, o ponto está na superfície, tudo certo!

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dão a inclinação da superfície nas direções e .
Calculando as derivadas:
No ponto :

Passo 4

Com as derivadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a reta normal. A reta normal passa pelo ponto de tangência e tem direção dada pelo vetor normal ao plano tangente. Esse vetor normal é formado pelas derivadas parciais, ou seja, . O componente vem do coeficiente de na equação do plano.
A equação paramétrica da reta normal será:
onde é um parâmetro real.

Resposta

Plano tangente:
Reta normal:
onde

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